Điện tích thật sự xuất hiện thành những phần riêng biệt, nhưng thông thường để cho tiện lợi về mặt toán học, người ta xem tập hợp các điện tích như thể chúng giống như một dòng chất lưu liên tục trải ra trong một vùng không gian. Ví dụ, một quả cầu kim loại tích điện sẽ có điện tích trải ra gần như đồng đều trên toàn bộ bề mặt của nó, và trong đa số mục đích người ta thường bỏ qua thực tế là tính chất đều đặn này bị phá vỡ ở mức độ nguyên tử. Điện trường do một sự phân bố điện tích liên tục như thế gây ra là tổng các điện trường do từng phần của nó gây ra. Nếu chúng ta đặt các “phần” đó trở nên nhỏ tí xíu, thì chúng ta có tổng của một số vô hạn những số vô cùng nhỏ, tức là một tích phân. Nếu nó là một tổng rời rạc, thì chúng ta có điện trường tổng cộng theo hướng x là tổng của mọi thành phần x của từng trường riêng lẻ, và tương tự chúng ta sẽ có tổng cho các thành phần y và z. Trong trường hợp liên tục, chúng ta có ba tích phân.
Ví dụ 8. Điện trường của một thanh tích điện đều
Một thanh chiều dài L có điện tích Q trải đều dọc theo nó. Tìm điện trường tại điểm nằm cách chính giữa thanh một khoảng d, dọc theo trục của thanh.
Đây là một tình huống một chiều, nên chúng ta thật ra chỉ cần tiến hành một phép tích phân biểu diễn điện trường tổng cộng dọc theo trục. Chúng ta tưởng tượng chia thanh ra thành những phần ngắn có chiều dài dz, mỗi phần có điện tích dq. Vì điện tích trải đều theo thanh, nên chúng ta có dq
= dz, trong đó = Q/L là điện tích trên đơn vị chiều dài, có đơn vị coulom trên mét. Vì các phần chia vô cùng ngắn, nên chúng ta xem chúng là điện tích điểm và sử dụng biểu thức kdq/r2 cho sự đóng góp của chúng vào điện trường, trong đó r = d – z là khoảng cách tính từ điện tích tại z đến điểm mà chúng ta thích.
2 2 2 2 2 2 2 L / L / z L / L / kdq k dz dz E k r r d z s/ Ví dụ 8
Tích phân có thể tìm trong bảng kê, hay hạ bậc xuống dạng cơ bản bằng cách đặt một biến mới thay cho (d – z). Kết quả là 2 2 1 1 1 2 2 L / z L / kQ E k d z L d L / d L /
Đối với các giá trị lớn của d, biểu thức này cho giá trị nhỏ hơn vì hai nguyên do: (1) mẫu của phân thức trở nên lớn, và (2) hai phân thức trở nên gần như bằng nhau, và có xu hướng triệt tiêu nhau. Điều này có ý nghĩa, vì trường sẽ phải yếu hơn khi ta đi xa điện tích hơn. Trên thực tế, trường ở khoảng cách lớn phải tiến tới kQ/d2, vì từ một khoảng cách thật lớn, thanh trông như một điểm Cũng thật hứng thú lưu ý rằng điện trường trở nên vô hạn ở hai đầu thanh, nhưng không vô hạn trên phần trong của thanh. Bạn có thể giải thích tại sao điều này xảy ra không ?
Tóm tắt chương 5 Từ khóa chọn lọc
trường ……… tính chất của một điểm trong không gian mô tả
lực sẽ tác dụng lên một hạt nếu nó nằm tại đó
bồn ………. điểm tại đó các vectơ trường hội tụ
nguồn ………. điểm từ đó các vectơ trường phân kì; thường
được dùng khái quát hơn để chỉ các điểm hoặc phân kì hoặc hội tụ
điện trường ……….... lực trên đơn vị điện tích tác dụng lên một điện tích thử đặt tại một điểm cho trước trong không gian
trường hấp dẫn ………….. lực trên đơn vị khối lượng tác dụng lên một khối lượng thử đặt tại một điểm cho trước trong không gian
lưỡng cực điện ………….. một vật có sự bất cân bằng giữa điện tích dương ở một đầu và điện tích âm ở đầu kia; một vật sẽ chịu một mômen quay trong điện trường
Kí hiệu
E ... điện trường
D ... mômen lưỡng cực điện
Thuật ngữ khác và kí hiệu
d, p, m ... những kí hiệu khác cho mômen lưỡng cực điện
Tóm tắt
Newton đã khai sinh ra một vũ trụ trong đó các lực tác dụng tức thời xuyên không gian, nhưng ngày nay chúng ta biết rằng có sự chậm trễ thời gian trước khi một sự thay đổi cơ cấu khối lượng và điện tích ở một góc của vũ trụ làm cho nó tự cảm thấy một sự thay đổi lực chịu tác dụng từ xa. Chúng ta tưởng tượng sự trải rộng ra phía ngoài của một sự thay đổi như thế giống như sự gợn sóng trong một trường lực không nhìn thấy lấp đầy vũ trụ.
Chúng ta định nghĩa trường hấp dẫn tại một điểm cho trước là lực trên đơn vị khối lượng tác dụng lên các vật đặt tại điểm đó, và tương tự, điện trường được định nghĩa là lực trên đơn vị điện tích. Những trường này là vectơ, do trường do nhiều nguồn sinh ra cộng lại theo quy tắc cộng vectơ.
Khi điện trường không đổi, hiệu điện thế giữa hai điểm nằm dọc theo một đường song song với trường liên hệ với trường bởi phương trình V = - Ed, trong đó d là khoảng cách giữa hai điểm.
Bài tập
1. Trong neuron quen thuộc của chúng ta, hiệu điện thế giữa mặt trong và mặt ngoài của màng tế bào vào khoảng Vngoài – Vtrong = - 70 mV ở trạng thái nghỉ, và bề dày màng khoảng chừng 6,0 nm (tức là chỉ dày khoảng hàng trăm nguyên tử). Vậy thì điện trường bên trong màng bằng bao nhiêu ?
2. Khe hở giữa hai điện cực của hệ thống đánh lửa của động cơ ô tô là 0,060 cm. Để tạo ra tia lửa điện trong hỗn hợp xăng-không khí, cần phải đạt tới điện trường 3,0 x 106
V/m.
(a) Khi khởi động xe hơi, cần phải đặt một hiệu điện thế tối thiểu bằng bao nhiêu vào mạch điện đánh lửa ? Giả sử điện trường là đều.
(b) Kích thước nhỏ của khe hở giữa hai điện cực thật bất lợi vì nó có thể bị khóa dễ dàng, và cần phải có những công cụ đặc biệt để đo nó. Vậy tại sao người ta không thiết kế hệ thống đánh lửa có khe hở rộng hơn ?
3. (a) Lúc t = 0, một hạt tích điện dương đặt nằm, ở trạng thái nghỉ, trong chân không, trong đó có một điện trường đều có độ lớn E. Hãy thiết lập phương trình cho tốc độ của hạt, v, theo t, E, khối lượng m và điện tích q của nó.
(b) Nếu tiến hành điều tương tự với hai vật khác nhau và chúng được quan sát thấy có chuyển động giống nhau, thì bạn có thể kết luận gì về khối lượng và điện tích của chúng ? (Chẳng hạn, khi phóng xạ được phát hiện, người ta nhận thấy một dạng của nó có cùng chuyển động giống như electron trong loại thí nghiệm này).
4. Hãy chỉ ra rằng độ lớn của điện trường tạo ra bởi một lưỡng cực hai điện tích đơn giản, tại một điểm ở xa dọc theo trục của lưỡng cực, là tỉ lệ gần đúng với D/r3, trong
đó r là khoảng cách tính từ lưỡng cực. [Gợi ý: Sử dụng phép gần đúng (1 + )p 1 + p, biểu thức đúng với nhỏ]
5. Cho rằng điện trường của một lưỡng cực tỉ lệ với D/r3 (xem bài toán 4), hãy chỉ ra rằng điện thế của nó biến thiên theo hàm D/r2 (Bỏ qua dấu dương và âm và các hằng số tỉ lệ).
6. Một phân tử carbon dioxide có cấu trúc O-C-O, với cả ba nguyên tử nằm trên một đường thẳng. Các nguyên tử oxygen chiếm dư một chút điện tích âm, làm cho carbon mang điện dương. Tuy nhiên, sự đối xứng của phân tử có nghĩa là nó không có mômen lưỡng cực tổng cộng, không giống như một phân tử nước hình chữ V chẳng hạn. Trong khi điện thế của một lưỡng cực có độ lớn D tỉ lệ với D/r2 (bài toán 5), thì hóa ra điện thế của một phân tử carbon dioxide dọc theo trục của nó bằng k/r3, trong đó r là khoảng cách tính từ phân tử và k là một hằng số. Điện trường của một phân tử carbon dioxide tại khoảng cách r bằng bao nhiêu ?
7. Một proton nằm trong vùng trong đó điện trường được cho bởi
E = a + bx3. Nếu proton bắt đầu ở trạng thái nghỉ tại x1 = 0, hãy tìm tốc độ v của nó khi nó tiến tới vị trí x2. Biểu diễn câu trả lời của bạn theo a, b, x2, và e và m, điện tích và khối lượng của proton.
8. Xét điện trường tạo ra bởi một vòng tích điện đều có điện tích tổng cộng q và bán kính b.
(a) Hãy chỉ ra rằng điện trường tại một điểm trên trục của vòng nằm cách mặt phẳng vòng một khoảng a là kqa(a2 + b2)-3/2.
(b) Hãy chỉ ra rằng biểu thức này đúng cho trường hợp a = 0 và cho a lớn hơn nhiều so với b.
9. Xét điện trường tạo ra bởi một mặt phẳng tích điện đều rộng vô hạn. Bắt đầu từ kết quả của bài toán 8, hãy chỉ ra rằng điện trường tại một điểm bất kì là 2k, trong đó
là mật độ điện tích trên mặt phẳng, đo bằng đơn vị coulomb trên mét vuông. Lưu ý là kết quả độc lập với khoảng cách tính từ mặt phẳng [Gợi ý: Chia mặt phẳng thành các vòng đồng tâm vô cùng nhỏ, có tâm tại điểm trong mặt phẳng gần nhất với điểm mà ở đó điện trường được định giá. Lấy tích phân sự phân bố của các vòng cho trường tại điểm này để tính trường tổng cộng].
2
E k
10. Xét điện trường tạo ra bởi một hình trụ tích điện đều kéo dài ra vô hạn ở một phía.
(a) Bắt đầu từ kết quả của bài 8, hãy chỉ ra rằng điện trường tại tâm của mặt trụ là 2k, trong đó là mật độ điện tích trên hình trụ, tính bằng đơn vị coulomb trên mét vuông. [Gợi ý: Bạn có thể sử dụng phương pháp tương tự
như trong bài toán 9].
(b) Biểu thức này độc lập với bán kính của hình trụ. Giải thích tại sao biểu thức này lại như thế. Ví dụ, điều gì sẽ xảy ra nếu như bạn tăng gấp đôi bán kính của hình trụ ?
11. Ba điện tích sắp xếp trên một hình vuông như hình vẽ. Cả ba đều là điện tích dương. Hỏi giá trị q2/q1
bằng bao nhiêu sẽ tạo ra điện trường bằng không tại tâm của hình vuông ?
a/ Hai người đầu tiên bước được ánh sáng sao là cái gì: James Clerk Maxwell và Katherine Maxwell, 1869
Chương 6 ĐIỆN TỪ HỌC
Trong chương này, chúng ta sẽ thảo luận mối quan hệ mật thiết giữa từ học và điện học do James Clerk Maxwell khám phá ra. Maxwell nhận ra rằng ánh sáng là một sóng cấu thành điện trường và từ trường liên kết với nhau. Người ta đồn rằng có một đêm ông đã đi dạo cùng với vợ của ông và nói với bà ta rằng bà là người khác duy nhất trên thế giới biết được ánh sáng sao thật sự là cái gì.
6.1 Từ trường Không có đơn cực từ
Nếu bạn chơi với một nắm lưỡng cực từ và một nắm nam châm thanh, bạn sẽ thấy chúng rất giống nhau. Chẳng hạn, một cặp nam châm thanh có xu hướng tự sắp thẳng hàng nối đuôi nhau, và một cặp lưỡng cực điện làm giống hệt như vậy (Thật không may là không dễ dàng gì làm cho một lưỡng cực điện vĩnh cửu có thể cầm nắm như thế này, vì điện tích có xu hướng rò rỉ).
Tuy nhiên, rốt cuộc bạn sẽ chú ý thấy sự khác biệt quan trọng giữa hai loại đối tượng. Các lưỡng cực điện có thể bị phá vỡ, hình thành nên các hạt tích điện dương và âm cô lập nhau. Dụng cụ hai đầu có thể bị chia cắt thành các phần không phải hai đầu. Nhưng
nếu bạn cắt thanh nam châm thành hai nửa, b, bạn sẽ dễ dàng thấy mình vừa tạo ra hai vật hai cực nhỏ hơn.
b/ Cắt một thanh nam châm thành hai nửa không tạo ra hai đơn cực từ, mà tạo ra hai lưỡng cực nhỏ hơn.
c/ Giải thích ở cấp độ nguyên tử.
Lí giải cho hành vi này không khó khăn gì từ bức tranh vi mô của chúng ta về các nam châm sắt vĩnh cửu. Một lưỡng cực điện có dư “chất” dương tập trung ở một đầu và dư chất âm ở đầu kia. Mặt khác, thanh nam châm có từ tính của nó không phải từ sự thiếu cân bằng “chất” từ ở hai đầu mà từ sự định hướng của chuyển động quay của các electron. Một cực là cực mà từ đó chúng ta có thể nhìn xuống trục và thấy các electron đang quay theo chiều kim đồng hồ, và cực kia là cực mà từ đó chúng sẽ xuất hiện chuyển động ngược chiều kim đồng hồ. Không có sự chênh lệch giữa “chất” ở cực này và cực kia của nam châm, c.
Chưa ai từng thành công trong việc tách riêng một đơn cực từ. Theo ngôn ngữ kĩ thuật, chúng ta nói rằng các đơn cực từ hình như không tồn tại. Các đơn cực điện thì thật sự tồn tại – đó là các điện tích.
Lực điện và lực từ giống nhau ở nhiều phương diện. Cả hai đều tác dụng từ xa, cả hai đều có thể là lực hút hoặc lực đẩy, và cả hai đều liên quan mật thiết đến một tính chất của vật chất gọi là điện tích. (Nhắc lại từ tính là tương tác giữa các điện tích đang chuyển động) Óc thẩm mĩ của các nhà vật lí đã bị xâm phạm suốt một thời gian dài vì cái có vẻ đối xứng này bị phá vỡ bởi sự tồn tại của các đơn cực điện và sự thiếu vắng các đơn cực từ. Có lẽ một số dạng kì lạ của vật chất có tồn tại, gồm các hạt là những đơn cực từ. Nếu những hạt như thế có thể tìm thấy trong tia vũ trụ hay đất đá mặt trăng, nó sẽ là bằng chứng cho thấy sự thiếu đối xứng biểu kiến chỉ là sự thiếu đối xứng trong kết cấu của vũ trụ, chứ không phải là một quy luật vật lí. Vì những lí do phải công nhận là chủ quan này, đã có vài ba tìm kiếm cho đơn cực từ. Các thí nghiệm đã được tiến hành, với kết quả âm tính, nhằm tìm kiếm đơn cực từ có trong vật chất thông thường. Các nhà vật lí Liên Xô trong thập niên 1960 đã đưa ra những khẳng định kích động rằng họ đã tạo ra và phát hiện được các đơn cực từ trong các máy gia tốc hạt, nhưng không hề có thành công nào trong nỗ lực tái tạo lại kết quả ở đó hay ở những máy gia tốc khác. Cuộc tim kiếm mới đây nhất cho các đơn cực từ bằng cách phân tích lại dữ liệu từ cuộc tìm kiếm quark top tại Fermilab, hóa ra không có ứng cử viên nào, cho thấy hoặc là đơn cực từ không tồn tại trong tự nhiên hoặc là chúng cực kì nặng và do đó thật khó tạo ra trong các máy gia tốc hạt.
Định nghĩa từ trường
Vì các đơn cực từ dường như không tồn tại, nên không thể nào nghĩ tới việc định nghĩa từ trường dưới dạng lực tác dụng lên một đơn cực thử. Thay vì vậy, chúng ta tuân theo triết lí của sự định nghĩa khác của điện trường, và định nghĩa từ trường dưới dạng mômen quay tác dụng lên lưỡng cực từ thử. Đây chính xác là cái mà la bàn từ hoạt động: kim la bàn là một nam châm sắt nhỏ hoạt động giống như một lưỡng cực từ và cho chúng ta thấy hướng của từ trường Trái Đất.
d/ Một lưỡng cực chuẩn cấu tạo từ một vòng dây hình vuông làm ngắn mạch một chiếc pin. Nó hoạt động rất giống với nam châm thanh, nhưng độ lớn
của nó dễ định lượng hơn. e/ Lưỡng cực có xu hướng tự sắp thẳng hàng với từ trường xung quanh.
Tuy nhiên, để định nghĩa độ lớn của từ trường, chúng ta cần một số cách định nghĩa độ lớn của lưỡng cực thử, tức là chúng ta cần có một định nghĩa của mômen lưỡng cực từ.