I- Lí thuyết tứ diện:
Một số khái niệm:
- Thiết diện: là một mặt cắt của một hình đa diện hoặc hình cầụ
- Muốn tính diện tích thiết diện cĩ nhiều cách: Nếu thiết diện là một tam giác thì việc tính sẽ trở nên dễ dàng hơn. Nĩ được tính dựa trên các phương pháp cơ bản sau:
+ Áp dụng lượng giác hay lượng giác hĩa bài tĩan. + Áp dụng hệ thức lượng.
+ Áp dụng tọa độ.
- Nếu thiết diện là một đa giác từ 4 đỉnh trở lên ta cĩ các phương pháp: + Chia thành các tam giác để tính.
+ Áp dụng lượng giác hay lượng giác hĩa bài tĩan. + Áp dụng hệ thức lượng.
+ Áp dụng tọa độ.
- Từ đĩ để tìm cực trị hay chứng minh các bất đẳng thức diện tích thiết diện ta cĩ các phương pháp sau:
+ Áp dụng lượng giác hay lượng giác hĩa bài tĩan. + Áp dụng hệ thức lượng.
+ Áp dụng tọa độ.
+ Áp dụng các bất đẳng thức cổ điển(Cauchy, Bunhia, ..) + Phân tích đi lên bài tốn để tìm hướng giảị
+ Liên tưởng tới những bài tương tự. + Dựa vào các đại lượng bất biến.
* Một số định nghĩa, định lí:
Định nghĩa 1:
Mặt phẳng tạo bởi trung điểm của 1 cạnh trong tứ diện và đoạn thẳng đối diện với cạnh
đĩ gọi là mặt trung diện.
Một tứ diện cĩ sáu mặt trung diện và sáu mặt trung diện này đồng quy tại trọng tâm của tứ diện.
Định nghĩa 2:
Mặt phẳng đối xứng với mặt trung diện qua mặt phân giác được gọi là mặt đối trung. Một tứ diện cĩ sáu mặt đối trung và các mặt này đồng quy tại điểm đối trọng tâm của tứ diện.
Định lí 1:
Cho tứ diện ABCD. M là 1 điểm nằm trong tứ diện, H,I,J,K là hình chiếu của M xuống các mp BCD mp CDA mp DAB mp ABC( ), ( ), ( ), ( ). Khi đĩ các điều kiện sau là tương
đương:
1) M là đối trọng tâm của tứ diện ABCD. 2) (MBCD2 ) (MCDA2 ) (MDAB2 ) (MABC2 )
A B C D
V V V V
S = S = S = S
Trong gốc tam diện, mối mặt nhỏ hơn tổng hai mặt kiạ
Hệ quả của định lí 2:
Hiệu hai mặt của gĩc tam diện nhỏ hơn mặt thứ bạ Mối quan hệ về số đo của các mặt gĩc tam diện giống như mối quan hệ về dộ dài các cạnh của một tam giác.
Định lí 3:
Tổng các mặt của một gĩc đa diện lồi nhỏ hơn 2π .
Định nghĩa:
Tam diện bù với một gĩc tam diện bất kì: Cho gĩc tam diện OABC, dựng nửa mặt phẳng
OA′ vuơng gĩc với mp OBC( )và nằm cùng phía với OA đối với
( ); ,
mp OBC OB OC′ ′cũng được dựng tương tự. Ta cĩ tam diện OA B C′ ′ ′ là gĩc tam diện bù với gĩc tam diện OABCđã chọ
Tức là gĩc tam diện tạo bởi các nửa đường thẳng xuất phát từ đỉnh của gĩc tam diện ban
đầu, vuơng gĩc với một trong 3 mặt phẳng tạo thành gĩc tam diện ban đầu và cùng phía với cạnh (xuất phát từ O) cịn lạị
Các tính chất của gĩc tam diện bù:
- Quan hệ tam diện bù cĩ tính chất đối xứng. Cĩ nghĩa là nếu OA B C′ ′ ′ là gĩc tam diện
bù của ABCD thì điều ngược lại cũng đúng.
- Tổng của mỗi mặt của một gĩc tam diện với nhị diện tương ứng (nhị diện cĩ cạnh vuơng gĩc với mặt đĩ trong gĩc tam diện bù) bằng π.
- Nếu 2 gĩc tam diện bằng nhau thì 2 gĩc tam diện bù chúng cũng bằng nhaụ Sử dụng gĩc tam diện bù ta cĩ định lí sau:
- Tổng các nhị diện trong một gĩc tam diện lớn hơn π và nhỏ hơn 3π .
Định lí 4:Định lí trung bình: Cho các số dương a ii,( =1,n), ta cĩ: 2 1 1 1 1 1 n n i i n i i i n i i i a a n a n n a = = = = ≤ ≤ ≤ ∑ ∑ ∑ ∑
Dấu đẳng thức xảy ra khi ai =ai+1