II. Một số ví dụ:
Bài toán góc đa diện
Bài toán 1: Chứng minh rằng tổng một góc tứ diện lồi bất kì tồn tại một thiết diện là hình bình hành, đồng thời các thiết diện như thế song song nhaụ
Chứng minh rằng một góc tứ diện lồi với các góc phẳng bằng nhau tồn tại thiết diện là hình thoị
Bài toán 2: Một trong hai góc đa diện lồi với đỉnh chung nằm trong góc đa diện kiạ Chnứg minh rằng tổng của các góc phẳng của góc đa diện nằm bên trong nhỏ hơn tổng của các góc phẳng của đa diện nằm bên ngoàị
Bài toán 4: Nếu tất cả các góc phẳng của góc tam diện là tù thì tất cả các góc nhị diện của nó đều tù.
Bài toán 5: Nếu tất cả các góc nhị diện trong một tam diện là nhọn thì tất cả các góc phẳng của nó cũng nhọn.
Bài toán 6: Chứng minh rằng tổng các góc có đỉnh là một điểm tùy ý nằm bên trong tứ diện, còn các cạnh đi qua các đỉnh của tứ diện, lớn hơn 3π.
Giải:
Giả sử O là một điểm nằm bên trong tứ diện ABCD; α β γ, , .là góc nhìn từ O đến các cạnh DA, DB và DC; a, b và c là các góc nhìn từ O đến các cạnh AB, BC và CA; P là giao điểm của mặt phẳng ABC với đường thẳng DO. Vì tia OP nằm trong góc tam diện
OABC, nên AOP BOP+ < AOC BOC+ 1( ) (sử dụng kết quả (3) của bài toán ví dụ 1). Mà AOP = −π AOB&BOP= π −BOD nên ta có
( )1 ⇔ − + − < + ⇔ + + + >π α π β a b a b β α 2π
Tương tự,β γ+ + + >b c 2 ,π γ α+ + + >a c 2π. Nếu cộng các bất đẳng thức này lại ta có điều phải chứng minh.