2 Mô hình chuỗi thời gian
2.2.8Quá trình ARIMA
Giả sử chuỗi thời gian (Yt)có xu hướng đa thức bậc d. Khi đó ta có thể loại bỏ xu hướng này bằng việc xem xét quá trình ∆dYt
nhận được bằng cách sai phândlần giống như mô tả trong mục 1.2. Nếu quá trình được lọc
∆dYd
là quá trình - ARM A(p, q) thoả mãn điều kiện dừng (2.4) thì quá trình ban đầu (Yt) được gọi là tự hồi quy tích hợp trung bình trượt cấp p, d, q, kí hiệu ARIM A(p, d, q). Trong trường hợp này các hằng số
a1, . . . , ap, b0 = 1, b1, . . . , bq ∈ R tồn tại sao cho
∆dYt = p X u=1 au∆dYt−u+ q X w=0 bwεt−w, t ∈ Z, trong đó (εt) là ồn trắng.
Ví dụ 2.2.10 Quá trình - ARIM A(1,1,1) (Yt) thoả mãn
∆Yt = a∆Yt−1+εt +bεt−1, t ∈ Z,
trong đó |a| < 1, b 6= 0 và (εt) là ồn trắng tức là
Yt −Yt−1 =a(Yt−1−Yt−2) +εt +bεt−1, t ∈ Z,
suy ra Yt = (a+ 1)Yt−1−aYt−2+εt+bεt−1. Chú ý rằng đa thức đặc trưng của phần AR trong quá trình - ARM A(2,1) có nghiệm là 1 và do đó quá trình này không dừng.
Di động ngẫu nhiênXt = Xt−1+εt hiển nhiên là quá trình -ARIM A(0,1,0). Xét Yt = St + Rt, t ∈ Z trong đó thành phần ngẫu nhiên (Rt) là quá trình dừng và thành phần theo mùa (St) là chu kỳ của độ dài s tức là
St = St+s = St+2s = . . . với t ∈ Z. Khi đó quá trình (Yt) không dừng, nhưng Yt∗ = Yt −Yt−s thì lại là một quá trình dừng. Nếu quá trình điều chỉnh theo mùa (Yt∗) là quá trình - ARM A(p, q) thoả mãn điều kiện dừng (2.4) thì quá trình (Yt) ban đầu được gọi là quá trình ARM A(p, q) theo mùa với độ dài chu kỳ s, kí hiệu SARM As(p, q). Người ta thường gặp phải chuỗi thời gian với xu hướng cũng như thành phần theo chu kỳ mùa. Do đó quá trình ngẫu nhiên (Yt)với tính chất ∆d(Yt−Yt−s)là quá trình -ARM A(p, q)gọi là quá trình - SARIM A(p, d, q). Đây là giả thiết chung cho phần thực hành.