2 Mô hình chuỗi thời gian
2.2.3 Điều kiện dừng của quá trình tự hồi quy
Trong khi theo định lý 2.1.6 quá trình - M A(q) là tự động dừng thì quá trình - AR(p) không như thế. Kết quả sau cho ta một điều kiện đủ về các hằng số a1, . . . , ap để suy ra sự tồn tại của nghiệm dừng xác định duy nhất (Yt) của (2.3).
Định lý 2.2.3 Phương trình - AR(p) (2.3) với các hằng số cho trước
a1, . . . , ap và ồn trắng (εt)t∈Z có một nghiệm dừng (Yt)t∈Z nếu tất cả p
nghiệm của phương trình 1−a1z−a2z2−. . .−apzp = 0 ở ngoài vòng tròn đơn vị. Trong trường hợp này, nghiệm dừng xác định duy nhất hầu chắc chắn bởi Yt = P
u≥0
buεt−u, t ∈ Z, trong đó (bu)u≥0 là bộ lọc nguyên nhân ngược khả tổng tuyệt đối của c0 = 1, cu = −au, u = 1, . . . , p và cu = 0
trong các trường hợp còn lại.
Chứng minh. Sự tồn tại của bộ lọc nguyên nhân khả tổng tuyệt đối sau đây xuất phát từ định lý 2.1.11. Sự dừng của Yt = P
u≥0
buεt−u là hệ quả của định lý 2.1.6 và tính duy nhất là do
εt = Yt −a1Yt−1−. . .−apYt−p, t ∈ Z,
và phương trình (2.1).
Điều kiện để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của quá trình - AR(p) là Yt = p P u=1 auYt−u+εt ở ngoài vòng tròn đơn vị tức là 1−a1z−a2z2−. . .−apzp 6= 0 với |z| ≤1, (2.4)
được đề cập sau đây được xem như là điều kiện dừng của quá trình -
AR(p).
Quá trình -AR(p) thoả mãn điều kiện dừng có thể được thể hiện như quá trình - M A(∞).
Chú ý rằng nghiệm dừng (Yt) của (2.1) tồn tại (nói chung) nếu không nghiệm zi nào của phương trình đặc trưng nằm trên mặt cầu đơn vị. Nếu có nghiệm trong vòng tròn đơn vị thì nghiệm dừng không là nguyên nhân tức là Yt tương quan với giá trị tương lai của εs, s > t. Điều này thường được coi như không tự nhiên.
Ví dụ 2.2.4 Quá trình - AR(1) Yt = aYt−1 + εt, t ∈ Z với a 6= 0 có phương trình đặc trưng 1 −a z = 0 với nghiệm z1 = 1
a. Do đó quá trình (Yt) thoả mãn điều kiện dừng nếu và chỉ nếu |z1| >1 tức là nếu và chỉ nếu
|a| < 1. Trong trường hợp này, ta thu được từ bổ đề 2.1.10, bộ lọc ngược nguyên nhân khả tổng tuyệt đối của a0 = 1, a1 = −a và au = 0 trong các trường hợp còn lại được cho bởi bu =au, u ≥ 0 và do đó, với xác suất 1
Yt = X
u≥0
buεt−u = X
u≥0
auεt−u.
Kí hiệu σ2 là phương sai của ε0. Từ định lý 2.1.6 ta thu được hàm tự hiệp phương sai của (Yt)
γ(s) = X u X w bubwCov(ε0, εs+w−u) = X u≥0 bubu−sCov(ε0, ε0) = σ2asX u≥s a2(u−s) = σ2 a s 1−a2, s= 0,1,2, . . .
và γ(−s) = γ(s). Đặc biệt, ta thu được γ(0) = σ
2
1−a2 và do đó, hàm tự tương quan của (Yt) được cho bởi
ρ(s) =a|s|, s∈ Z.
Hàm tự tương quan của quá trình - AR(1) Yt = aYt−1 +εt với |a| < 1