Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử

Trong mục này, ta sẽ nhắc lại những ý tưởng cơ bản của phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử được khởi xướng lần đầu tiên bởi Đ. N. Diệp ([11]) và được phát triển bởi J. Rosenberg ([18], [19]), G. G. Kasparov ([14]), H. H. Việt ([35]),...

3.2.1 K-lý thuyết và mở rộng các C*-đại số

Thông thường, để đặc trưng một C*-đại số A nào đó (đặc biệt là bằng phương pháp K-hàm tử), ta sẽ tìm cách nhúng A vào một mở rộng dạng

0 J i A B 0 (3.1)

với J là một ideal (đã biết) đóng trong A, còn B A

J cũng là một C*-đại số đã biết.

Các mở rộng dạng (3.1) có liên quan mật thiết với K-lý thuyết. K-lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng. Giả sử A là một C*-đại số có đơn vị. Khi đó K0 A được định nghĩa là bao nhóm Grothendieck của vị nhóm các lớp

đẳng cấu các A-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Trường hợp A không có đơn vị ta đặt K0 A ker K0 A K0   , trong đó A là đại số thu được từ A bằng cách thêm phần tử đơn vị. Khi n 0, ta đặt

0 0

n n

K A K A C  .

Các K-nhóm có tính ổn định: Ki A Ki A K (K vẫn là ký hiệu chỉ C*- đại số các toán tử compact). Đồng thời chúng cũng có tính tuần hoàn Bott:

2

n n

K A K A .

Bởi vậy, thực chất ta chỉ cần xét hai nhóm K0 A , K1 A . Hơn nữa K0, K1 còn là các hàm tử đồng điều suy rộng.

Mở rộng (3.1) sinh ra một dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần (còn gọi là dãy khớp K-lý thuyết) của các K-nhóm:

0 0 0

K J K A K B

(3.2)

1 1 1

K B K A K J

Các mũi tên thẳng đứng 0, 1 gọi là các đồng cấu nối của (3.2). Việc xác định cặp 0, 1 cho phép ta tính các nhóm K0 A và K1 A . Thật ra, ta còn thu được nhiều thông tin hơn trong phép tính cặp 0, 1 , cụ thể là cặp này xác định cho ta cái gọi là “kiểu ổn định” ([22]) của các C*-đại số được xét, một khái niệm mà ta sẽ làm rõ ngay dưới đây. Mọi việc bắt đầu từ sự kiện là: dãy khớp (3.1) xác định một phần tử trong KK-nhóm Ext B J, của Kasparov ([14]).

3.2.2 KK-nhóm Kasparov

Giả sử J, B là các C*-đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B là hạch và tách được. Xét các mở rộng C*-đại số dạng

0 1

0 J K i A B 0 (3.3) Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (3.1) và (3.3). Mỗi mở rộng (3.3) lại tương ứng 1 – 1 với một đồng cấu:

:B O J K

từ B vào đại số đa nhân tử ngoài trên J K mà được gọi là bất biến Busby của mở rộng (3.3) ([19, Section 2]). Ta sẽ đồng nhất mở rộng (3.3) với A cũng như với bất biến Busby của nó.

Hai mở rộng 1, 2 dạng (3.3) gọi là tương đương unita nếu có một toán tử unita u M J K (đại số đa nhân tử trên J K ) sao cho với mỗi x B:

2 x u. u. 1 x với u u modJ K . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Tổng 1 2 của các mở rộng 1, 2 dạng (3.3) được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu:

* Ext B J, : tập các lớp tương đương unita của các mở rộng dạng (3.3) * Sxt B J( , ): tập các lớp tương đương unita của các mở rộng chẻ ra dạng (3.3). Cả hai tập này lập thành nhóm với phép cộng và Sxt B J, là chuẩn tắc trong Ext B J, .

Khi đó KK-nhóm Ext B J, của Kasparov được định nghĩa bởi , Ext , , xt B J B J Sxt B J E .

Như vậy mỗi mở rộng (3.3) (hoặc (3.1)) luôn xác định một phần tử duy nhất trong KK-nhóm Ext B J, .

Mở rộng gọi là hấp thụ nếu nó tương đương unita với tất cả các mở rộng dạng 0, ở đó 0 là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu Exta B J, là tập các lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ.

Mặc dù mỗi mở rộng xác định một phần tử duy nhất của Ext B J, , nhưng chiều ngược lại là không đúng. Mỗi phần tử của Ext B J, không đủ xác định một mở rộng mà chỉ xác định duy nhất một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của Exta B J, . Nói rõ hơn, ta có:

Exta B J, Ext B J, .

Tuy nhiên, với mỗi mở rộng (dạng (3.3) hoặc (3.1)), có duy nhất một mở rộng hấp thụ 1 sao cho 1 lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của KK- nhóm Ext B J, chỉ xác định cái gọi là “kiểu ổn định” của mở rộng .

3.2.3. Bất biến chỉ số của C*-đại số

Trở lại xét mở rộng (3.1):

0 J i A B 0.

Như đã nói ở trên, (3.1) xác định một phần tử nào đó (duy nhất) của Ext B J, .

Định nghĩa 3.2.1 ([2, Định nghĩa 2.4.1]).Phần tử Ext B J, được gọi là bất biến chỉ số của C*-đại số A và được ký hiệu là Index A.

Như vậy, Index A xác định “kiểu ổn định” của (mở rộng) A.

Nhắc lại rằng, mỗi mở rộng A (dạng (3.1)) sinh ra dãy khớp K-lý thuyết dạng (3.2) 0 0 0 K J K A K B 1 1 1 K B K A K J 0 1

Theo Định lí hệ số phổ dụng của Rosenberg và Schochet ([17]), ta có dãy khớp 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 , , , , , 0

Ext K B K J Ext K B K J Ext B J

Hom K B K J Hom K B K J

 

 

(3.4) trong dãy khớp này, đồng cấu chuyển Index A thành cặp 0, 1 của (3.2). trong dãy khớp này, đồng cấu chuyển Index A thành cặp 0, 1 của (3.2).

Còn 1

Ext , là hàm tử mở rộng thông thường (trong đại số đồng điều).

Nhận xét 3.2.2. Đồng cấu trong dãy khớp (3.4) được gọi là ánh xạ chỉ số ([19]).

Khi mở rộng (3.1) có K Bi là các nhóm abel tự do (mà điều này luôn thỏa mãn đối với các mở rộng được xét trong các nghiên cứu sau này của ta), các

nhóm 1

Ext K B K Ji , i 0 i 0,1 . Nhờ (3.4) ta có đẳng cấu

0 1 1 0

:Ext B J, Hom K B K J, Hom K B K, J , trong đó Index A 0, 1 .

Bởi vậy, nhờ đẳng cấu , ta có thể đồng nhất Index A với cặp 0, 1 các đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết (3.2) liên kết với mở rộng (3.1). Nói cách khác, chính cặp 0, 1 xác định kiểu ổn định của C*-đại số A (như là một mở rộng của B bởi J). Đặc biệt, khi mở rộng (3.1) là hấp thụ, chính 0, 1 sẽ đặc trưng duy nhất A (sai kém một tương đương unita). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

3.2.4. Đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của nó

Một trong những công cụ cơ bản của ta trong phép tính các K-nhóm và các đồng cấu nối 0, 1 là các đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của chúng được A. Connes đưa ra trong [7].

Mệnh đề 3.2.3. Giả sử nhóm Lie giao hoán n

 tác động liên tục lên C*-đại số A bởi . Khi đó tồn tại đẳng cấu tự nhiên

:

i n

i i n

K A K Aã  ,

trong đó i 0,1; còn phép cộng i n là cộng modulo 2.

Nhắc lại rằng, với mỗi mở rộng dạng (3.1) và giả sử n

 tác động liên tục lên các C*-đại số J, A, B sao cho (3.1) trở thành dãy khớp n đẳng biến. Ký hiệu   J A B, , tương ứng là các tích xiên của J, A, B bởi n. Khi đó ta có dãy khớp đối ngẫu của (3.1) như sau

0 J A B 0 (3.5)

Mệnh đề 3.2.4 ([22, Lemma 3.4.3]). Các dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng (3.1) và (3.5) được liên hệ nhờ các đẳng cấu Thom-Connes trong biểu đồ giao hoán sau đây:

Kn J Kn A Kn B 0 K J K0 A K0 B (3.6) 1 K B K1 A K J1  1 n K B Kn 1 A Kn 1 J

trong đó n xem như n (mod 2), n+1 xem như n+1 (mod 2).  * i * i * i  * i  *  * * * 0 n 1 n 1 0 0 1 1 0 1

3.2.5. Hệ bất biến chỉ số của C*-đại số

Ngoài việc sử dụng các đẳng cấu Thom-Connes và tính chất tự nhiên của chúng, kĩ thuật tính Index A 0, 1 thường khá thích hợp với các mở rộng (3.1) mà trong đó cả J lẫn B đều là các C*-đại số dạng: C0 X K , với X là một không gian compact địa phương nào đó. Trong nhiều trường hợp phức tạp, nếu không thể nhúng C*-đại số cần đặc trưng A vào một mở rộng (3.1) với J, B có dạng như thế. Khi đó, cần phải dùng tới các mở rộng lặp có dạng sau đây:

1 1 2 1 2 1 0 0 0 0 ... 0 k k k 0 J A B J B B J B B (3.7)

trong đó các C*-đại số J1, ,..., J2 Jk và Bk đều có dạng C0 X K .

Bấy giờ tất cả các phần tử 1, 2,..., k trong các KK-nhóm 1 1

Ext B J, ,..., Ext B Jk, k tương ứng với các mở rộng trong (3.7) mới đủ xác định kiểu ổn định của C*-đại số cần đặc trưng A như là một phần tử của

1Ext ,

k

i i i B J . Dựa trên ý tưởng đó, H. H. Việt [35] đưa ra định nghĩa dưới đây.

Định nghĩa 3.2.5. Tập hợp 1, 2,..., k gọi là hệ bất biến chỉ số (chính tắc) của C*-đại số A, ký hiệu Index A.

Như vậy là, trong trường hợp này, Index A sẽ được đồng nhất với phần tử

0 1 1 , i i i k trong nhóm 0 1 1 0 1 , , k i i i i i Hom K B K J Hom K B K J , ở đó

0i, 1i là cặp đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng trong (3.7).

Trên đây là tóm tắt các ý tưởng cơ bản của phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử. Và đây cũng chính là cơ sở lý thuyết cho các kết quả chính của chương 3 sẽ được giới thiệu trong mục 3.4.