Có những ví dụ cho thấy, mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng bản thân các lá có thể compact hoặc không. Do đó, khó có thể nói gì về các tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá. Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [8, p. 523]). Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quan tâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân lá. Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các lá một độ đo thích hợp. Năm 1982, A. Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành ([8]) đặc biệt thích hợp với không gian các lá của phân lá mà ngay sau đây ta sẽ giới thiệu.
2.3.1 Đa tạp con hoành – tập hoành Borel
Giả sử V F, là một phân lá. Đa tạp con N của V được gọi là hoành nếu , p
p N T V chẻ ra thành tổng trực tiếp Tp N Fp. Khi đó hiển nhiên
dimN codimF. Hơn nữa, có thể chọn một bản đồ phân lá U, quanh mỗi
điểm p N sao cho các tấm của U tương ứng 1 – 1 với các điểm của N U, tức là mỗi tấm trong U cắt N tại một điểm duy nhất.
Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu
B L đếm được, với mỗi lá L của phân lá.
Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các tập hoành Borel B có kiểu như sau: tồn tại đơn ánh :B N từ B vào đa tạp con hoành N nào đó sao cho x thuộc cùng lá chứa x, với mỗi x B.
2.3.2 Độ đo hoành đối với phân lá – Phân lá đo được
Một độ đo hoành đối với phân lá V F, là một ánh xạ -cộng tính
B B từ họ các tập con hoành Borel của V đến 0, sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:
( 1) Nếu :B1 B2 là song ánh Borel và x thuộc lá chứa x x B1
thì B1 B2 (tính đẳng biến Borel).
( 2) K nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành. Phân lá V F, đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được.