Khi đó tiêu chuẩn chia hết cho m được phát biểu như sau: Số a chia hết mm khi và chỉ khi ở chia hết cho zm.
Dựa vào thuật toán trên ta có thể xây đựng tiêu chuẩn chia hết cho bất kỳ số tự
nhiên rrz > 2, chẳng hạn, nm = 4,7, 11, 13.
1. Tiêu chuẩn chia hết cho 4
Xét tắnh đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo modun 4 ta có
10=Z2 (mod 4), 102=20=0 (mod 4), 10=0 (mod 4) (Ư= 3,4...)
Tổng ở tưng ứng với số a = ựnựn~1...0i+16¡...02018g có dạng
Vậy tiêu chuẩn chia hết cho 4 là: Số a chia hết cho 4 khi và chỉ khi
đ = 2a + ao chia hết cho 4.
ứ
Ộ
Vắ dụ.
453452 có d = 2 x 5 + 2 = 12 chia hết cho 4, nên 453452:4,
082422 có đ = 2x2+2 = 6 không chia hết cho 4, nên 582422 không chia hết.
2. Tiêu chuẩn chia hết cho 7
Xét tắnh đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo modun 7 ta có
10=3 (mod7), 102=30=2 (mod 7), 10?=20=Ở1 (mod7) 10U=-Ở10=-Ở3 (mod 7), 10 =-Ở30=-Ở2 (mod 7), l0 =-Ở20=1 ( 10U=-Ở10=-Ở3 (mod 7), 10 =-Ở30=-Ở2 (mod 7), l0 =-Ở20=1 (
Giả sử m = 6 + 1 với ý > 2. Khi đó dãy số đồng dư tương ứng với dãy c của a sẽ là đạ [nTỞ1 Ơn 2 n3... 0 Qg 04 0ạ 2 G1 đọ iỞ-2Ở3Ở1..1Ở2-ả3_-123I1 (Ì Và tổng đ tương ứng với a có dạng đ= an Ở 2đnẤ_Ở1 Ở ỷfnỞ2 Ở đnỞ3 Ẩ - - - + 0 Ở 2ãs Ở 3a4 Ở a3 + 2a + 3ai 3 Vậy tiêu chuẩn chia hết cho 7 là: Số a:7 khi và chỉ khi tổng
đ = dạy Ở 20nỞ1 Ở 3ữnẤ_Ở2 Ở na + - - - +ag Ở 2ãg Ở da Ở 0a + 2ảa + 3a + chia hết cho 7, 7546357 có đd= 7Ở2xđỞ3x4Ở868+2x3+3xđ+7 =7 chia hết Ề nên 7546357:7. * 863425 có đ=Ở-2x8-3x6Ở3+2x4+2x3+5=-l6-18Ở-3+8+6+5= không chia hết cho 7, nên 863425 không chia hết cho 7.
8. Tiêu chuẩn chia hết cho I1
ẩ Xét tắnh đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo mod 11, ta có
10=~Ở1 (mod 11), 10?=-Ở101 (mod 1]),
Với k = 0,1,2,... khi đó dãy đồng dư tương ứng với dãy chữ số của ụ sẽ là
[n, Gn_Ở1y nỞ2; 62 GỊ go
(Ở1)*(~1*-1{-1)*Ẽ2..1 Ở 11
Và tổng ở tương ứng với a có dạng
d(Ở1)Ợam + (Ở1)ỢỢ am_y + (Ở1)ỢỢ an_Ư + ẹ + + đạ Ở ứy + đo .
Vậy tiêu chuẩn chia hết cho 11 là: Số a:11 khi và chỉ khi
đ= (Ở1)Đ4Ư + (Ở1)P TaẤ_Ậ + (Ở1)ệỢ2agỞƯ -E --- + a2 Ở ai +ag
chia hết cho 11.
Vĩ dụ.
3811581939 có ở = Ở3+8Ở1Ở5+8Ở1+9Ở3+9= 22 chia hết cho 11, nên
3811581939 :11 l
256743258 có đ= 2 Ở đ +6Ở 7+ 4Ở3+2Ởỏ+8= 2 không chia hết cho 11, nên 256743258 không chia hết cho 11.
4. Tiêu chuẩn chia hết cho 13
Xét tắnh đồng dư của lũy thừa cơ số 10 theo modun 13 ta có
10 = Ở3 (mod 13), 102 = Ở4 (mod.13), 10 = Ở40 = Ở1 (mod 13), 10 = Ở10
= 3 (mod 13), 10 = 30 = 4 (mod 13), 108 = 40 = 1 (mod 13), 10Ợ = 10 = Ở3
(mod 13)
Giả sử Ủ = 6 với ặ > 2. Khi đó dãy số đồng đư tương ứng với dãy chữ số của a
là
ứn Ôn 1 Ôn 2 On-3 n-4 n 5 .. 6g Qg Q4 g3 đ2 a1 0o
1 4 3 Ở1 Ở4 _Ở3 1 4 3ả -_Ở-1 -4 -ả l1
và tổng d tương ứng với a có dạng
đ = ứna + 4an_1 + 3ãẤỞƯ Ở đnạ 3 Ở Â@n_4 Ở 3đm_Ởbg + - --
+ ae + áag + 3aƯ Ở aa Ở ÂdƯ Ở 3a) + an
Vậy tiêu chuẩn chia hết cho 13 là: Số a chia hết cho 13 khi và chỉ khi tổng
đ = an + 4@n_1 + 3qẤ_Ở2 Ở ựnTỞ3 Ở ÂđẤỞƯ Ở 3m Ởg + - ẹ*
~+ ag + 4as + 3aaƯ Ở da Ở 4a Ở 3a + qg chia hết cho 13.
Vắ dụ.
Ở_ 8588112 có đ=8+ 20+ 24Ở-8Ở4Ở3~+ 2= 99 chia hết cho 13, nên ậ5
chia hết cho 13.
1111111 có đ= I1+4+3Ở1Ở4Ở-ả3+]1 = l không chia hết cho 13, nên 11
không chia hết cho 13.
0.8.3. Phương pháp nhóm chữ số
GIả SỬ Ủa = đnđnỞ1...G;...đ1đọ là số nguyên tùy ý, còn rn là số tự nhiên bất kỳ.
nhỏ hơn 2. Với số tự nhiên Ư tuỳ ý không nhỏ hơn 2. Giả sử ở; là số nguyên đề với 10?! (¡ = 0,1, 2, ) theo modun zn và có trị tuyệt đối nhỏ nhất. Khi đó nhờ cá chất của phép đồng dư ta có hệ quả sau:
Số ~ a= n Ân Ở 1 ---G1 ii Ở1 điỞ~2--<3(ƯỞ~1)1Ề-Ỳ814Ở1 .Ấ.31đ0 - _ = an8nỞ1...0idy.10Ợ + ãnỞTấn=sfgỞ1100=11 + ¡ .
-* + đại 182iỞg...đ110Ợ + 8Ở18iỞa-..đ160
= fnữnỞ1---Giidy + ựỞ18Ở2--:G(Ở1)1đyỞ-4 + c
+ đẠI^1ã2IỞ3-..-1d1 + 0ỊỞ1đ1Ở2...địđ0 (mod mì
Dựa vào hệ quả trên có thuật toán xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho rn như sau
Thuật toán.
1. Chọn số tự nhiên bé nhất có thể ¡ > 2 thắch hợp với rm theo nghĩa: Số dị; dự với 10# theo modun zn có trị tuyệt đối bé nhất. dự với 10# theo modun zn có trị tuyệt đối bé nhất.
2. Liệt kê dãy các số đồng dư tương ứng với dãy 10Ợ (2= 1,2,) 10? 10ữ-U/ ,, 102... 102? 100 100 dọ đ;ƯỞ] .... đ ể-Ẽ đị 1 3. Lập tổng d = đnđn~T1...adt + ấu Ở181~32---6(Ở1)tđỞ1 + + 83Ở182172-..411161đị + địỞ1ãiỞ2...đ1 4. Nếu d chia hết cho rn, thì ụ chia hết cho rn. Nếu đ không chia hết cho z -" a không chia hết cho rn. Bằng thuật toán trên ta có tiêu chuẩn chia hết c _ bằng phương pháp nhóm chữ số như sau: Số a chia hết cho mm khi và cl
tổng
đ = fnữnỞ1...GidƯ + ấãn::106Ỡ106::2--0(Ở1)1địỞ1 + +
chia hết cho ?m.
Dựa vào thuật toán trên ta có thể xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho bất kỳ số tự nhiên m nào không nhỏ hơn 2, chẳng hạn rm = 7, 33.
Tiêu chuẩn chia hết cho 7
Để có tiêu chuẩn chia hết cho 7 ta thực hiện các bước của thuật toán trên như sau
1. Do 1000 = Ở1 (mod 7), 1000 = 1 (mod 7), 10002? = 1 (mod 7), 1000?! =
Ở1 (mod 7) ¡ = 0,1,2, nên chọn Ậ = 3.
2. Dãy số đồng dư tưng ứng với 1000, k = 0,1,2,
10002 100071... 10002 1000 1
(1) (UP! .. 1 Ở1 1
3. Tổng đ tương ứng với số a có dạng
d= (Ở1)*4nã=n-T8ải + (Ở1)Ợ~Ìãã;Ở18at-28ã0-ỞT) +*-':Ở88ã4đ3 + 02100
Khi đó tiêu chuẩn chia hết cho 7 được phát biểu như sau: Số a chia hết cho 7 khi và chỉ khi tổng d chia hết cho 7.
Vắ dụ.
5781139 có d = đ Ở 781 + 139 = 637 chia hết cho 7, nên 5781139 chia hết cho 7
811582 có đ= Ở811 + 582 = 229 không chia hết cho 7, nên 811582 không chia hết
cho 7.
Tiêu chuẩn chia hết cho 33
Để có tiêu chuẩn chia hết cho 33 ta thực hiện các bước của thuật toán trên như sau 1. Do 100 = 1 (mod 33), nên với mọi s = 0,1,2... đều có 100ồ = 1 (mod 33)
nên chọn Ì = 2.
2. Dãy số đồng dư tương ứng với 100ồ, k = 0,1,2
100? 10071... 1002 100 1
1 1 c1 1 1
3. Tổng đ tương ứng với số a có dạng
d = mnữdn_ỞT1 +ũn-2ữn_3 + --- + ựạãa + đ1ão, nếu ụ lẻ đ = an +ũn 1ổnỞ2 + --': +82 + n1ao, nếu ụw chấn.
Khi đó tiêu chuẩn chia hết cho 33 được phát biểu như sau: Số a chia hết cho : và chỉ khi đ chia hết cho 33. và chỉ khi đ chia hết cho 33.
Vị dụ.
6021939 có đ = 6+ 02+ 19+ 39 = 66 chia hết cho 33, nên 6021939 ch cho 33.
024631 có đ = 52 + 46 + 31 = 129 không chia hết cho 33, nên 524531 không