đ = ựnẵn~Ở1...0284Ở1....G1đ0
= an10Ợ + aẤ_110ồỞ1 +---'+ aƯi0ỳ + Ủ_1101 +--- +a¡10 +aa
chia hết cho mm.
Nếu tồn tại số tự nhiên k, để 10È = 1 (mod mm) thì với mọi số tự nhiên ặ đ 10Ẻ! = 1 (mod mm). Ta thực hiện thuật toán sau 10Ẻ! = 1 (mod mm). Ta thực hiện thuật toán sau
Thuật toán.
\
-_ 1. Tìm số tự nhiên Ư nhỏ nhất, để 10! = 1 (mod mì).
2. Chia dãy chữ số của a từ phi sang trái theo các nhóm liên tiếp độ dài ¡. K với số tự nhiên s, mà sỉ < m= < (s + 1) có
ỞỞỞỞ L
a = 8n8ại+1ãai10* + - Ề Ề + 8giỞT1-.đix10110Ợ + ỊỞT1--.đ1ỏ0
Bởi vậy ta có tiêu chuẩn chia hết sau đây.
Tiêu chuẩn chia hết I
Nếu ¡ là số tự nhiên nhỏ nhất để aÌ = 1 (mod rn) và s là số tự nhiên để sỈ < n < (s + 1)!, thì a chia hết cho zn khi và chỉ khi tổng (s + 1)!, thì a chia hết cho zn khi và chỉ khi tổng
ựn Ga1+1 đại TT 'r Ý + 82iỞ1---8i+1l{ Ẩ địỞ1.--G180 \
chia hết cho ?m.
Vận dụng tiêu chuẩn chia hết 1 cho các trường hợp ?m = 3,9, 11, 111 ta được các tiêu chuẩn chia hết tưng ứng sau đây. tiêu chuẩn chia hết tưng ứng sau đây.
1. Với mm = 3, ta có 10 = 1 (mod 3), nên ỉ = Ì và dãy chữ số ụ được chia thành các nhóm gồm một chữ số và ta có tiêu chuẩn chia hết cho 3 như sau
Số nguyên a = đãỡn-1ử100 chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số
đm + đn~1 + - + * + đi + ao chia hết cho 3.
Tương tự ta cũng có tiêu chuẩn chia hết cho 9 như sau:
Số nguyên a = Znđa-1...a¡đo chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng đạẤ Ẩ 6ẤTỞ1 + ẹ** Ta 1 + ao chia hết cho 9. Vắ dụ. 23456781=2+3+4+ỏ+6+7+8+1=0 (mod 3) nên 23456781:3. 54326781 =5 +4+3+2+6+7+8+1=0 (modệ9), nên 5đ4326781:9 4354063 = 4+ 3+5 +4+0+6+3=25=1 (mod 3)
nên 4354063 không chia hết cho 3.
1997199819991 = 1+9+9+7+1+9+9+8ậ+1+9+9+9+1=82=1 (mị
nên 1997199819991 không chia hết cho 9.
2. Với rm = 11 ta có 102 = 1 (mod 1)1, nên ¡ = 2 và đãy chữ số của a được phân thành các nhóm độ dài 2 từ phải sang trái và ta có tiêu chuẩn chia hết cho 11 phân thành các nhóm độ dài 2 từ phải sang trái và ta có tiêu chuẩn chia hết cho 11
như sau
Với n lẻ số nguyên a = ựnđaỞ1...Gido chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng
GnốữnỞ1 -Ẩ En_-20nỞ3 + - +: + 010g
Với re, chẩn số nguyên a = đnốn-Ở1...địđo chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổn
đn + ổn Ở1n~2 Ở - ' : + G100
chia hết cho 11.
Vắ dụ.
719981999 = 7 + 19 +98 +19 +99 =242=0 (mod 1)1 nên 719981999 chia hết cho 11.
53467874 = 53 + 46 + 78+ 74=251=8 (mod 1)1 nên 53467874 không chia hết cho 11.
3. Với rw = 111 ta có 10 = 1 (mod 1)11, nên ¡ = 3 và dãy chữ số của a
phân thành các nhóm độ dài 3 từ phi sang trái và ta có tiêu chuẩn chia hết cho 11 nh - Với Ấ = 3t (t là số tự nhiên) số nguyên a = ựnđn-Ở1...đ¡đo chia hết cho 1
và chỉ khi tổng
ứnẵn -1ãnỞ2 + ựfnỞ30nTỞ42ẴnỞs5 + -- + 1201ã0 chia hết cho 111.
- Với Ấ = 3ý + 1 số nguyên a = ỏựnđn_Ở1...G1đo chia hết cho 111 khi và cẨ
tổng
đn + ấn Ở10nỞ20nTỞ3 -T - +: T- đ201đq0 chia hết cho 111.
- Với n = 3t + 2 số nguyên a = anđn_Ở1...G1ửo chia hết cho 111 khi và cẨ
tổng
Gnm~1 + ựnỞ2ựnỞ38nỞ~4 + ` - + + ã2đ1go
chia hết cho 111.
Vị dụ.
582004080 = 582 + 004 + 080 = 582 + 4 + 80 = 666=0_ (mod 111) nên 582004080 chia hết cho 111.
' 6573864 = 6 + 573 + 864 = 1443=0_ (mod 111) nên 6573864 chia hết cho 111.
13661325 = 13 + 661 + 325 = 999=0_ (mod 111) nên 13661325 chia hết cho 111. _
154635811 = 154 + 63 = 1600 = 35 (mod 111) nên 15463811 chia hết cho 111.
0.8.2 Phương pháp dãy số dư
Giả sử
ga = đnữn-1...ự.018g = dỦẤ10Ợ + anaỞ110?Ợ +..Ề + a210; +Ề-- 110 + an
là số nguyên tùy ý và mm là số tự nhiên bất kỳ không nhỏ hơn 2. Khi đó, theo các tắnh chất của phép đồng dư, ta có hệ quả: Nếu d; (Ư = 0,1,2) là số nguyên tùy ý đồng dư
với 10 theo modunrmth _ ì
a ặ an dạ +} đạyTỞ1dnỞ1 + --- + aƯđƯ + -Ềê + aiđị + ao (mod m) Từ hệ quả trên suy ra thuật toán xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho zn. Từ hệ quả trên suy ra thuật toán xây dựng tiêu chuẩn chia hết cho zn.
Thuật toán.
Để có một tiêu chuẩn chia hết cho zm ta thực hiện các bước sau
1. Đối với mỗi Ư = 1,2 chọn số nguyên đ; đồng dư với 10 theo modun rn và có trị tuyệt đối (|đ;|) nhỏ nhất;
2. Viết dãy số đồng đư đ; (Ư = 1,2.) một cách tương ứng dưới dãy chữ số của a;
0n - nTỞ1 ...GƯ+1 GƯ... G1 B0
đạm dạn .. địịy dị... d1
3. Tìm tổng
đ = @ndạ + an_l1đn 1 + 0;+1+1 + 0ƯđƯ + ẹ + ẹ + a1) + ao 4. Xét tổng d