BÀI TẬP BỔ SUNG

II: CÁC DẠNG TỐN

BÀI TẬP BỔ SUNG

Bài 1. Cho hàm số: (d ): y1 mn x 2m – 3n5

a. Tìm m, n để (d1) đi qua hai điểm A(2;6) và B(-1; -6).

b. Tìm m, n để (d1) đi qua điểm C(-2;5) và song song với d2 : yx – 5. c. Tìm m, n để (d1) trùng với  d3 : y 5x5

d. Tìm m, n để (d1) cắt  d4 : ymx3mn tại điểm D 1;9   e. Tìm m, n để (d1) cắt   2

P : yx tại hai điểm cĩ hồnh độ là 1 và 3.

f. Tìm m,n để (d1) cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ là 4 và cắt trục hoành tại điểm cĩ hồnh độ là - 2.

Bài 2. Cho hàm số  d : y1 x3 và d : y   3x3

a. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b. Tính gĩc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox.

c. Gọi giao điểm của (d1) và (d2) là A, giao điểm của (d1), (d2) với trục hoành lần lượt là B và C. Tính chu vi và diện tích của ABC.

Chú ý: Gọi α là gĩc tạo bởi đường thẳng  d : yaxb với trục Ox. + a0 thì tan a + a0 thì tan(    ) a Bài 3. Cho hàm số   2 1 (d ): y m – 2 xm m 3  a. Tìm m để hàm số đồng biến. b. Tìm m để (d1) và đường thẳng  d2 : y3x – 13 và d 3 : y 2x – 3 đồng quy. c. Tìm m để (d1) cắt  d4 : yx21 tại một điểm trên trục tung.

d. Tìm m để (d1) đi qua A(3;4) và song song với   2 5

d : y m x – 1 e. Chứng minh rằng (d1) cắt   2

P : yx tại hai điểm phân biệt. Gọi x ; x1 2 là hồnh độ giao điểm của (d1) và (P). Tìm m để 2 2

1 2

x x 5.

f. Tìm m để (d1) tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuơng cân. g. Tìm m để (d1) cắt  d6 : y 3x 1 tại một điểm trên trục tung.

Bài 4. Cho hàm số (P) : y 1x2 2  a. Vẽ đồ thị hàm số.

b. Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ lần lượt là -2 và 4. Lập phương trình đường thẳng AB.

c. Chứng minh đường thẳng (d1) đi qua điểm M(-1;3) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt C và D.

d. Gọi xC và xD lần lượt là hồnh độ của C và D. Tìm phương trình của (d1) để

2 2

C D

e. Lập phương trình đường thẳng cắt (P) tại một điểm cĩ hồnh độ là 2 và song song đường thẳng y3x 5

Bài 5. Cho hàm số (d): ym – 2 x 2

a. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luơn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. b. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d bằng 1.

c. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d nhận giá trị lớn nhất. d. Tìm m để đường thẳng d tạo với hai trục một tam giác cĩ diện tích bằng 2.

Chú ý: Biểu thị độ dài các đoạn thẳng bao giờ cũng lấy giá trị tuyệt đối.

Bài 6. Cho  2     2

P : y4x và d : y 4m 3 x – m 7m4 a. Tìm m để (d) và (P) cĩ điểm chung.

b. Gọi x1, x2 là hồnh độ giao điểm. Tìm m để x1, x2 là hai số nghịch đảo.

Bài 7. Cho  P : yax và d : y2   4m 3 x – m  27m4

a. Tìm a biết (P) đi qua điểm A(-1;1). Vẽ (P) với giá trị của a vừa tìm được.

b. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cĩ hệ số gĩc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A) của (P) và (d).

c. Chứng tỏ AOBvuơng tại A. Tính độ dài đoạn AB và diện tích AOB.

Chú ý

 A x ; y , B x ; y 1 1  2 2 thì 2 2

1 2 1 2

AB (x x ) (y y )  Cĩ hai cách để chứng minh AOBvuơng tại A.

- Dùng định lí Pitago đảo AB2OA2OB2

- Dùng quan hệ vệ số gĩc: Cho 2 đường thẳng  d : y1 axb , d 2 : ya’.xb’. Khi đĩ (d )1 (d )2 a.a ' 1.

Bài 8. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x

a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đĩ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

b. Đường thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm cĩ tung độ bằng 6, cắt các đường thẳng: y = x và y = 3x lần lượt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB

Bài 9. Cho hàm số y = - 2x và y 1x 2  .

a. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;

b. Qua điểm (0; 2) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng y 1x 2  và y 2xlần lượt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuơng và tính diện tích của tam giác đĩ.

Bài 10. Cho hàm số y x . a. Vẽ đồ thị hàm số;

b. Vẽ đường thẳng y2, cắt đồ thị hàm số y x ở A và B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đĩ.

Bài 11. Cho hàm số ym 4 x m 6 d .     

a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.

b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m.

c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luơn luơn đi qua một điểm cố định.

Bài 12. Cho hàm số y3m –2 x – 2m .

a. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2. b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 2.

c. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm được ở câu a, b.

Bài 13. Cho ba đường thẳng y  x 1, yx 1 và y 1.

a. Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b. Gọi giao điểm của đường thẳng y  x 1 và  y x 1  là A, giao điểm của đường thẳng y 1 với hai đường thẳng y  x 1 và  y x 1  theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

c. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 14. Cho đường thẳng  d : y   2x 3 .

a. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d.

b. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đường thẳng d.

Bài 15. Tìm giá trị của k để ba đường thẳng

y = 2x + 7 (d1) y 1x 7

3 3

   (d2) y 2x 1 k k

   (d3) đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.

Bài 16. Cho hai đường thẳng ym 1 x 3   và y2m 1 x 4.  

a. Chứng minh rằng khi m 1 2

  thì hai đường thẳng đã cho vuơng gĩc với nhau. b. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng đã cho vuơng gĩc với nhau.

Bài 17. Xác định hàm số yax b trong mỗi trường hợp sau:

a. Khi a 3, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng  3. b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3).

c. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6).

d. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 7x và đi qua điểm 1; 7 7.

Bài 18. Cho đường thẳng y4x d . 

a. Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d) và cĩ tung độ gốc bằng 10.

b. Viết phương trình đường thẳng (d2) vuơng gĩc với đường thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ bằng – 8.

c. Viết phương trình đường thẳng (d3) song song với đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.

Bài 19. Cho hàm số y2x 2 d  1 và y 1x 2 2

   (d2).

a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đường thẳng (d2) với trục Ox là B, cịn giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

c. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 20. Cho các hàm số sauy  x 5 d 1 ; y 1x 4

 (d2) ; y4x (d3) a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) với đường thẳng (d2) và (d3) lần lượt là A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B.

c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao? d. Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 21. Cho hai đường thẳng y x 3 d   1 và y 3x 7 d .   2

a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lượt là A và B. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.

c. Gọi J là giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2). Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuơng. Tính diện tích của tam giác đĩ.

Bài 22. Cho hai đường thẳng yk 3 x 3k 3 d     1 và y2k 1 x k 5 d .     2 Tìm các giá trị của k để:

a. (d1) và (d2) cắt nhau.

b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c. (d1) và (d2) song song với nhau.

d. (d1) và (d2) vuơng gĩc với nhau. e. (d1) và (d2) trùng nhau.

Bài 23. Cho hàm số ym 3 x n m     3 d .   Tìm các giá trị của m, n để đường thẳng (d) a. Đi qua điểm A(1;- 3) và B(- 2; 3).

b. Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 1 3, cắt trục hoành tại điểm cĩ hồnh độ

3 3.

c. Cắt đường thẳng3y x 4 0   .

d. Song song với đường thẳng2x 5y  1. e. Trùng với đường thẳngy 3x 7 0   .

Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm F(0; 1 ) 4a và đường thẳng (d): 1 y 4a   (a ≠ 0). Gọi M(x; y) là một điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng (d).

a. Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ của điểm M. b. Biết MF = MH, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y.

Bài 25. Cho hàm số  ym26m 12 x .  2

a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005).

b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2.

c. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết x 1 2, x = 1- 2 và x 1 2

1 2

 

 .

Bài 26. Cho hàm số y k –2k 3 x2   2.

a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; 0).

b. Khi k = 1, tính giá trị của y, biết x 2 3, x 2 3 và x 2 3

2 3

 

 . c. Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10.

Bài 27. Cho hàm số  y2m 1 x .  2

a. Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y4x –2tại điểm A cĩ hồnh độ 1. b. Với giá trị tìm được của m hãy vẽ đồ thị hàm số y2m 1 x  2 và đồ thị y4x – 2

trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

c. Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b.

Bài 28. Cho hàm số y ax 2bx c (a 0).  Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a. Hàm số nhận giá trị – 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x 1

b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1

2 và 1

c. Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2).

Bài 29. Cho đường thẳng d : yk 2 x q   .Tìm các giá trị của k và q biết rằng đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)

b. Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ 1 2 và cắt trục hoành tại điểm cĩ hồnh độ

2 2

c. Cắt đường thẳng -2y + x - 3 = 0 d. Song song với đường thẳng 3x 2y 1 

Bài 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đường thẳng d : y 2x 2 . a. Chứng minh A (d)

b. Tìm các giá trị của a để Parabol yax2 đi qua A

c. Tìm đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với đường thẳng (d)

d. Gọi A và B là giao điểm của (P) với đường thẳng tìm được trong câu c, và C là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC.

Bài 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol   1 2

P : y x 4

 và đường thẳng d : y mx n  . Tìm các giá trị của m và n biết đường thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a. Song song với đường thẳng y = x và tiếp xúc với (P) b. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P).

Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trường hợp trên.

Bài 32. Cho hàm số: y 1x2 2   . a. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.

b. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt cĩ hồnh độ là - 2; 1. Viết phưong trình đường thẳng MN.

c. Xác định hàm số y ax b  biết rằng đồ thị (D) của nĩ song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.

Bài 33. Cho hàm số 1 2

y x

2   .

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.

b. Lập phưong trình đường thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).

Bài 34. Cho hàm số: yf (x) 2 x22x 1 . a. Vẽ đồ thị hàm số trên.

b. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1.

Bài 35. Cho hàm số: yx2và yx m (m là tham số).

a. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m cĩ hai giao điểm phân biệt A và B.

b. Tìm phưong trình của đường thẳng (d) vuơng gĩc với (D) và (d) tiếp xúc với (P). c. i). Thiết lập cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.

ii). Áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là 3 3 .

Bài 36. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số yax2và (D) là đồ thị hàm số

y  x m.

a. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm được.

a. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm.

b. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuơng cân.

Bài 37. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng:

 d : y1 x 1 và  d2 : x 2y 4  0

a. Tìm tọa độ giao điểm A của (d )1 và (d )2 bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép tốn. b. Tìm a trong hàm số yax2cĩ đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa

tìm được.

c. Tìm phưong trình của đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.

Bài 38. Cho (P) là đồ thị của hàm số yax2và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục. a. Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm được.

b. Gọi B là điểm thuộc (P) cĩ hồnh độ là 4. Viết phưong trình đường thẳng AB. c. Viết phưong trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.

Bài 39. Cho parabol (P): y 1x2 4

 và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) cĩ hồnh độ lần lượt là - 2 và 4.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b. Viết phưong trình của (D).

c. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng hồnh độ) x  2; 4 sao cho tam giác MAB cĩ diện tích lớn nhất.

Bài 40. Trong cùng hệ trục vuơng gĩc, cho parabol (P): 1 2

y x

4

  và đường thẳng

 d : ymx 2m 1. 

a. Vẽ (P).

b. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P).

c. Chứng tỏ rằng (d) luơn luơn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).

Bài 41.Trong cùng hệ trục vuơng gĩc cĩ parabol (P): 1 2

y x

4

 và đường thẳng (D) qua điểm 3

I( ; 1)

2  cĩ hệ số gĩc m.

a. Vẽ (P) và viết phưong trình của (D). b. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).

c. Tìm m sao cho (D) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt.

Bài 42. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P):y 1x2 4

 và đường thẳng (D): y 1x 2 2    a. Vẽ (P) và (D).

b. Bằng phép tốn, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D).

c. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đĩ đường tiếp tuyến của (P) song song với (D).

Bài 43. Cho họ đường thẳng cĩ phưong trình  mx2m 1 y 3 0 1 .     