IX. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRềN XOAY
2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD.
Cõu10: Cho ba nửa đờng thẳng Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng và gĩc xOy = 900 gĩc yOz = 600 , gĩc zOx = 120. Trên Ox, Oy, Oz lần lợt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a.
a) CM: ∆ABC vuơng tại B.
b) Gọi I là trung điểm của AC. CM: OI ⊥ (ABC).
c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
16) Cho ∆ABC cân cĩ gĩc BAC = 1200 và đờng cao AH = a 2. Trên đờng thẳng ∆ vuơng gĩc (ABC) tại A lấy hai điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho ∆IBC đều và ∆JBC vuơng cân.
a) Tính các cạnh của ∆ABC.
b) Tính AI, AJ và CM: ∆BIJ, ∆CIJ là tam giác vuơng.
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC.
Cõu11: Cho ∆ABC vuơng cân tại B (AB = a). Gọi M là trung điểm của AB. Từ M dựng đờng thẳng vuơng gĩc (ABC) trên đĩ lấy điểm S sao cho ∆SAB đều.
a) Dựng trục của các đờng trịn ABC và SAB. b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Cõu12: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng ở A và D; AB = AD = a; CD = 2a; SD ⊥ (ABCD). Từ trung điểm E của CD, kẻ trong mặt phẳng đường vuụng gúc với SC cắt SC tại K. Chứng minh rằng sỏu điểm S, A, D, E, K, B ở trờn một mặt cầu. Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu đú. Biết SD = h
Cõu13: Cho tứ diện SABC cú SA ⊥ (ABC), (SAB) ⊥ (SBC). Biết SB = a 2, ASã B = α (0 < α < 900). Chứng minh rằng: BC ⊥ SB. Từ đú xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Cõu14: Cho hỡnh chúp SABC cú SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đụi một vuụng gúc. Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp
Cõu15: Mặt cầu tõm O, bỏn kớnh R = 13dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 6dm, BC = 8dm, AC = 10dm. Tớnh khoảng cỏch từ O đến (P)
Cõu16: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA ⊥ (ABC) và tam giỏc ABC vuụng ở B. Kẻ cỏc đường cao AH, AK lần lượt của tam giỏc SAB, SAC. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K nằm trờn một mặt cầu. Biết AB = 10cm, BC = 24cm, xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu đú
MẶT TRỤ
Cõu1: Một hỡnh trụ cú bỏn kớnh đỏy R và cú thiết diện qua trục là một hỡnh vuụng. 1. Tớnh diện tớch xung quanh và diện tớch tồn phần của hỡnh trụ 2. Tớnh thể tớch của khối trụ
3. Tớnh thể tớch của hỡnh lăng trụ tứ giỏc đều nội tiếp hỡnh trụ đú
Cõu2: Cho hỡnh trụ cú cỏc đỏy là hai hỡnh trũn tõm O và O’, bỏn kớnh đỏy bằng 2cm. Trờn đường trũn đỏy tõm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2cm. Biết rằng thể tớch tứ diện OO’AB bằng 8cm3. Tớnh chiều cao của hỡnh trụ, suy ra thể tớch của hỡnh trụ.
Cõu3: Cho hỡnh trụ cú cỏc đỏy là hai hỡnh trũn tõm O và O’, bỏn kớnh đỏy bằng 2cm. Trờn đường trũn đỏy tõm O lấy điểm A, trờn đường trũn chiều cao và bằng a. Trờn đường trũn đỏy tõm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tớnh thể tớch của khối tứ diện OO’AB
MẶT NểN
Cõu1: Cho hỡnh chúp D.ABC cú gúc ABC ACBã = ã = α (α < 900) và cỏc cạnh bờn DA, DB, DC tạo với mặt đỏy (ABC) cỏc gúc nhọn bằng nhau
1) Chứng minh rằng chõn đường cao DH của hỡnh chúp trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Tớnh AH theo α biết AC = a
2) Tớnh tỷ số thể tớch hỡnh chúp D.ABC và thể tớch hỡnh nún đỉnh D ngoại tiếp hỡnh chúp đú.
Cõu2: Cho hỡnh lăng trụ tứ giỏc đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đỏy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tõm của A’B’C’D’ và (T) là đường trũn nội tiếp đỏy ABCD . Tớnh thể tớch hỡnh nún cú đỉnh O’ và đỏy (T).
Cõu3: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cạnh đỏy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tõm của A’B’C’ và (T) là đường trũn nội tiếp đỏy ABC . Tớnh thể tớch hỡnh nún cú đỉnh O’ và đỏy (T).
Cõu4: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn hợp với đỏy một gúc 600. Gọi (T) là đường trũn ngoại tiếp đỏy ABCD. Tớnh thể tớch hỡnh nún cú đỉnh S và đỏy (T).
Cõu 6: Cho ba điểm khơng thẳng hàng: A(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).B − C − − Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Cõu 7: Cho bốn diểm khơng đồng phẳng : A( 2;5;−3) ; B(1;0;0); C( 3;0;−2) D(−3;−1;2) . Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
Cõu 8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz.
Cõu 9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M: a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
Cõu 10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh cịn lại.
Cõu 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHễNG GIAN
Cõu1: Viết tọa độ của các vectơ say đây: →a= − +2→i →j; b→=7→i−8k→; →c= −9k→; →d=3→i−4→j+5k→
Cõu 2: Cho ba vectơ →a= ( 2;1 ; 0 ),→b= ( 1; -1; 2) , →c = (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ : →u = 4→a - 2→b + 3→c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ →a ,→b ,→c khơng đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ w→= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ →a,→b ,→c .
Cõu 3: Cho 3 vectơ →a= (1; m; 2),→b = (m+1; 2;1 ) ,→c = (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để 3 vectơ đĩ đồng phẳng .
Cõu 4: Cho: →a=(2; 5;3 ,− ) b→=(0;2; 1 ,− ) →c=(1;7; 2). Tìm tọa độ của vectơ:
a) 14 3 4 3 2 d a b c → → → → = − + b) →e = −a→ 4b→−2c→
Cõu 5: Tìm tọa độ của vectơ →x, biết rằng:
a) a x→+ =→ →0 và →a= −(1; 2;1) b) a x→+ =→ 4→a và a→=(0; 2;1− ) c) a→+2→x b=→ và a→=(5;4; 1− ), → (2; 5;3 .) c) a→+2→x b=→ và a→=(5;4; 1− ), → (2; 5;3 .)
= −
b
Cõu 13 . Cho ba vectơ →a= −(1; 1;1 ,) →b =(4;0; 1 ,− ) →c =(3; 2; 1 .− ) Tìm: a) → → →a b c. ; b a b c)→2→ →. ; c a b b c c a)→ →2 +→ →2 +→ →2 ; a) → → →a b c. ; b a b c)→2→ →. ; c a b b c c a)→ →2 +→ →2 +→ →2 ; ữ ữ d) 3→a−2a b b c b→ → →. +→ →2 ; e) 4 .a c b→ →+ −→2 5→c2 ữ .
Cõu 14. Tính gĩc giữa hai vectơ a→ và b→:
a a) →=(4;3;1 ,) b→= −( 1; 2;3) b a) →=(2;5;4 ,) b→=(6;0; 3 .− )
Cõu 15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
Cõu 16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ → → →a b c, , trong mỗi trờng hợp sau đây:
( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1; 2 , 4;2;3
( ) ( ) ( )
) 4; 2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
c a = b= c =
d a) →= −( 3;1; 2 ,− ) b→=(1;1;1 ,) c→= −( 2; 2;1 .)
Cõu 17. Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC.
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành. d) Tính độ dài đờng cao ∆ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các gĩc của ∆ABC.
Cõu 18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tìm gĩc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Cõu 19. Cho ∆ ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). Hãy tìm độ dài đờng phân giác trong của gĩc B.
Cõu 20. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D tạo thành tứ diện. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C của tứ diện đĩ.
c) Tính độ dài đờng cao của tam giác ABD hạ từ đỉnh B. d) Tính gĩc ABC và gĩc giữa hai đờng thẳng AB, CD.
Cõu 21. Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đờng chéo.
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đĩ đờng cao tam giác ABC vẽ từ A. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC .
Cõu 22. Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a) Chứng minh 4 điểm A, B , C , D khơng đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ đĩ suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D. d) Tìm tọa độ chân đờng cao của tứ diện vẽ từ D .
Cõu 23. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. b) Tính cosin các gĩc A,B,C .
c) Tính diện tích tam giác ABC
PHƯƠNG TRèNH MẶT CẦU Câu 1: Các phơng trình sau cĩ là phơng trình mặt cầu khơng? :
a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0 Câu 2: Laọp phửụng trỡnh maởt cầu (S) bieỏt:
a/ Coự tãm I(2; 1; –2) vaứ qua A(3; 2; –1).
b/ Coự ủửụứng kớnh AB, vụựi A(6; 2; –5) vaứ B(–4; 0; 7).
c/ Qua ba ủieồm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) vaứ coự tãm naốm trẽn maởt phaỳngOxy. d/ Coự tãm I(6; 3; –4) vaứ tieỏp xuực vụựi Oy.
e/ Ngoai tieỏp tửự dieọn ABCD vụựi A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(1; 1; 1) f/ Qua ba ủieồm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) vaứ coự tãm naốm trẽn maởt phaỳngOyz.
Câu 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0). a/ CMR: ABCD laứ hỡnh vuõng vaứ SA laứ ủ/cao cuỷa h/choựp S.ABCD. b/ Vieỏt phửụng trỡnh maởt cầu ngoái tieỏp hỡnh choựp S.ABCD.
Bài tập 1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(2; 2; -3) bán kính bằng 3. 2. Lập p.trình mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I Ox∈ .