1. Định nghĩa và tính chất của hệ quy chiếu
2.2.3. Chọn hệ quy chiếu cho bài toán của vật rắn
A. Đặc điểm của chuyển động
Trong cơ học, vật rắn được coi là một tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì luôn luôn không đổi
* Chuyển động tịnh tiến:
Chuyển động tịnh tiến của một vật rắn là chuyển động trong đó đường nối hai điểm bất kì của vật luôn song song với chính nó.
Ta quy chuyển động tịnh tiến của vật rắn về bài toán chuyển động thẳng của chất điểm, nên trong bài toán vật rắn, ta chỉ xét chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
Khi một vật rắn quay quanh một trục cố định, thì mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng thời gian. Nói cách khác, mọi điểm của vật có cùng tốc độ góc ω, gọi là tốc độ góc của vật.
* Khối tâm của vật rắn
Khi nghiên cứu chuyển động của hệ nhiều chất điểm khác nhau, người ta phát hiện ra mỗi hệ đều có một điểm đặc biệt gọi là khối tâm, tại điểm mà nếu lực tác dụng lên vật có giá đi qua điểm đó thì chỉ làm vật chuyển động tịnh tiến mà không quay thì điểm đó được gọi là khối tâm của vật. Trong trường trọng lực là trường đều, khối tâm trùng với trọng tâm, vì thế cũng kí hiệu là G. Thế nhưng trong trường hấp dẫn là trường không đều, thì hai điểm này không trùng với nhau. Khi ấy, ta bỏ qua trọng tâm mà dùng khối tâm. Khối tâm có vai trò quan trọng trong việc miêu tả chuyển động của một hệ. Chuyển động của các hệ khác nhau hình như cũng rất khác nhau, nhưng thực ra chúng đều có một số tính chất chung quan trọng. Khối tâm giúp chúng ta sáng tỏ những tính chất đó.
* Vai trò của khối tâm
Như đã biết, nếu chỉ xét thuần túy về mặt động học thì chuyển động phẳng tổng quát có thể xem là chuyển động tổng hợp của hai chuyển động thành phần:
• Chuyển động tịnh tiến với vận tốc bằng vận tốc của một điểm bất kì của vật mà ta gọi là cực.
• Chuyển động quay quanh cực với vận tốc góc không phụ thuộc vào việc chọn cực.
Gọi A là điểm được chọn làm cực, B là điểm bất kì khác của vật, ta có: = + ˄ (3.1)
Tuy nhiên, nếu xét cả về mặt động lực học thì khối tâm của vật trở nên khác biệt hẳn với các điểm khác của vật. Chuyển động phẳng tổng quát có thể xem là chuyển động tổng hợp của hai chuyển động thành phần:
• Chuyển động tịnh tiến với gia tốc bằng gia tốc của khối tâm.
Biết và ta có thể tìm được gia tốc của một điểm bất kì của vật. Thật vậy, gọi A là điểm bất kì, theo (3.1) ta có:
= + ˄
Lấy đạo hàm, ta được:
= + ˄ + ˄ ( ˄ ) (3.2)
Trong đó, gia tốc của điểm A trong chuyển động tròn quanh G bao gồm = ˄ và = ˄ ( ˄ ).
Xét về mặt năng lượng, khối tâm cũng có một vai trò đặc biệt:
• Thế năng của vật bằng thế năng của toàn bộ khối lượng của vật tập trung tại khối tâm.
E = mgz = mgh (3.3)
• Động năng của vật bằng tổng động năng của chuyển động tịnh tiến theo khối tâm và động năng quay quanh khối tâm.
E = mv + Iω (3.4)
Khối tâm của vật cũng có vai trò đặc biệt đối với các đại lượng bảo toàn.
• Động lượng của vật trong chuyển động phẳng tổng quát chỉ bằng động lượng của chuyển động tịnh tiến theo khối tâm của nó.
= m (3.5)
( Động lượng của vật trong chuyển động quay quanh khối tâm bằng không).
• Công thức tính mômen động lượng của vật đối với khối tâm có cùng dạng với công thức tính mômen động lượng của vật đối với tâm quay có định (gọi là O) cho dù G chuyển động.
= I (3.6)
• Hệ thức liên hệ giữa mômen lực và mômen động lượng đối với khối tâm cũng đơn giản như đối với tâm quay cố định.
∑ = = I (3.7)
* Hệ quy chiếu khối tâm: là hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến với vận tốc bằng vận
tốc của khối tâm của hệ chất điểm.
* Tâm quay tức thời:
Tâm quay tức thời là điểm đặc biệt thứ hai chỉ đứng sau khối tâm của vật. Như đã biết, khi một vật chuyển động phẳng tổng quát, thì tại mỗi thời điểm (trong cơ học 2 gọi là mặt phẳng O’) có vận tốc bằng không. Điểm này được gọi là tâm quay tức
thời của vật. Vận tốc của các điểm khác của vật tại thời điểm đó có thể được xác định bằng cách coi vật quay quanh tâm quay tức thời.
Gọi K là tâm quay tức thời của vật, A là một điểm bất kì của vật, ta có: = ˄ (3.8a)
= ˄ (3.8b)
Từ công thức (3.8) ta suy ra công thức tính động năng của vật : E = ∑mv = Iω (3.9)
với I = I + m() (3.10)
Từ công thức (3.8) ta suy ra được công thức tính mômen động lượng của vật đối với K.
= ∑( ˄ m ) = I (3.11)
Ta có nhận xét, tất cả công thức từ (3.8) đến (3.11) đều có dạng giống như các công thức tương ứng đối với vật chuyển động quanh tâm O cố định. Từ đó ta rút ra kết luận :
Chuyển động phẳng tổng quát có thể xem là chuyển động quay thuần túy quanh tâm quay tức thời khi xét về các mặt sau đây :
- mặt động học (khi tính vận tốc của mỗi điểm của vật) - mặt năng lượng (khi tính động năng của vật)
- mặt bảo toàn (khi tính mômen động lượng của vật đối với tâm quay tức thời)
Các công thức liên quan đến tâm quay tức thời trên đây từ (3.8) đến (3.11)đã góp phần vào việc lựa chọn các cách giải hay và hiệu quả cho các bài tập về chuyển động phẳng.
B. Bài tập ví dụ
Bài toán 1: Một quả cầu đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R, lăn không trượt từ
trạng thái nghỉ từ một đỉnh dốc có chiều cao h. Tìm vận tốc khối tâm của nó ở chân dốc? Giải * Cách 1: ))
Hình :
Coi chuyển động lăn không trượt của quả cầu trên mặt phẳng nghiêng là tổng hợp của hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến của quả cầu với vận tốc bằng vận tốc khối tâm C của nó và chuyển động quay của quả cầu quanh trục đi qua khối tâm C, ta có các phương trình chuyển động của quả cầu là:
mgsinα - F = ma FR = Iε với ε = Và I = mR
Từ đó, ta tính được: a = gsinα.
Vận tốc của khối tâm C tại chân dốc tính được từ công thức: v = 2as = 2 gsinα
Ta có: v = * Cách 2:
Hình:
Coi chuyển động lăn không trượt của quả cầu tại mỗi thời điểm là một sự quay tức thời quanh trục M vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua điểm tiếp xúc M của quả cầu với mặt phẳng nghiêng, ta có phương trình chuyển động của quả cầu là: mgRsinα = I ε với ε = và I = I + mR = mR → a = gsinα. α α M
Vận tốc của khối tâm C tại chân dốc tính được từ công thức:
v = 2as = 2 gsinα
Ta có: v =
Nhận xét: Trong bài tập về chuyển động quay của vật rắn quanh 1 trục cố định
người ta thường sử dụng hệ quy chiếu khối tâm hoặc hệ quy chiếu gắn với tâm quay tức thời để tiện tính toán cũng như mô tả chuyển động rõ ràng hơn. Hai cách làm này tương đương nhau về mặt tính toán. Nhưng khi sử dụng hệ quy chiếu khối tâm ta có 1 lợi thế là động lượng của vật trong chuyển động quay quanh khối tâm bằng không , còn đối với tâm quay tức thời thì vận tốc tại điểm đó bằng không. Do vậy tùy thuộc vào bài toán liên quan đến thể chọn 1 trong 2 hệ quy chiếu trên để giải bài tập.
Bài toán 2: Một đĩa tròn đồng chất có khối lượng m = 100kg quay với vận tốc góc ω
= 10 vòng/phút. Một người khối lượng m = 60kg đứng ở mép đĩa. Hỏi vận tốc góc của đĩa khi người đi vào đứng ở tâm của đĩa. Coi người như một chất điểm.
Giải
Áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng cho hệ người - đĩa: Iω = Iω
⇒ ω = ω = ω = ω
⇒ ω = .10 = 22 (vòng/phút)
Nhận xét: Đối với bài toán vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục cố định ta cũng
có thể đưa về dạng chiếu các vectơ quay lên 1 phương nào đó. Và thường thì phương đó sẽ trùng với phương của trục quay cố định vì khi chiếu theo phương của trục quay thì sẽ có 1 số vectơ có giá trị bằng không như vectơ gia tốc pháp tuyến, khi đó việc giải bài toán sẽ đơn giản hơn.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một quả bóng đặc được làm bằng một loại cao su đặc biệt cho phép nó nảy
đàn hồi trên một mặt phẳng, đồng thời không trượt trên mặt phẳng có ma sát khi va chạm. Bóng được ném lên từ một mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng là α so với phương ngang. Vận tốc đầu của quả bóng vuông góc với mặt phẳng nghiêng và có
độ lớn là v. Tìm thành phần của vận tốc quả bóng dọc theo mặt phẳng nghiêng ngay sau lần nảy thứ n?
Đáp số: v = vtanα (n lẻ)
v = vtanα (n chẵn)
Bài 2: Một hình trụ lớn, rỗng, khối lượng m, bán kính R, lăn không trượt trên mặt
phẳng nghiêng với góc nghiêng α so với phương ngang. Trên bề mặt của hình trụ có một con chó, khối lượng m, đang chạy sao cho nó luôn giữ vị trí cao nhất của hình trụ. Hỏi gia tốc góc của hình trụ?
α m m R O (+)
Đáp số: γ =
Gợi ý: Khối tâm G của hệ “ hình trụ + chó” chuyển động song song với mặt phẳng
nghiêng (hay đường căn cứ) nên áp dụng được các công thức ∑ = = I
KẾT LUẬN
Nhìn chung, khi giải bài toán chuyển động cơ học, việc chọn hệ quy chiếu đặc trưng phù hợp với từng dạng chuyển động cơ học. Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể mà ta có các cách chọn hệ quy chiếu khác nhau sao cho việc giải bài toán được tiến hành một cách thuận lợi nhất.
Chẳng hạn, khi xét bài toán chuyển động thẳng, ta chọn hệ quy chiếu gắn với hệ trục tọa độ có một trục song song với chuyển động của vật, có nghĩa là ta nên chọn hệ quy chiếu có một trục tọa độ song song hoặc trùng với nhiều lực tác dụng. Với dạng chuyển động trong mặt phẳng đứng,ta nên chọn hệ trục tọa độ đề các Oxy cơ bản (Ox song song với mặt đất và Oy vuông góc với mặt đất) và gốc tọa độ nên chọn ví trí ban đầu của vật. Trong dạng bài chuyển động trong mặt phẳng nghiêng ta nên chọn hệ trục tọa độ có một trục song song với mặt phẳng nghiêng. Điều này khiến việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận tiện hơn.
Đối với chuyển động tròn đều, ta nên chọn hệ quy chiếu gắn với hệ tọa độ cực. Các lý thuyết của chuyển động tròn đều đều được xây dựng trong hệ quy chiếu đó,nhưng chưa có một nghiên cứu nào nhấn mạnh điều này. Trong chuyển động tròn biến đổi, ta nên chọn vật mốc nằm trên đường tròn, sử dụng hệ trục tọa độ Đề-các trùng với hướng của các thành phần gia tốc để dễ dàng chiếu phương trình vectơ lên các trục tọa độ nhằm đơn giản hóa việc tính gia tốc. Tuy nhiên, trong một số bài toán ta có thể sử dụng hệ tọa độ cực để việc tính toán nhẹ nhàng hơn.
Khi xét bài toán chuyển động của hệ chất điểm (bài toán va chạm, bảo toàn động lượng, bài toán của vật rắn,…) ta nên sử dụng hệ quy chiếu khối tâm.
Trong chương 1, đề tài đã khái quát được các lí thuyết cơ bản về hệ quy chiếu, đặc biệt nhấn mạnh hệ quy chiếu quán tính thông qua nguyên lí tương đối Galileo, tạo cơ sở để triển khai chương 2 của đề tài.
Chương 2 của đề tài đã chỉ được các cách tối ưu nhất trong việc lựa chọn hệ
quy chiếu ứng với từng dạng bài cụ thể thông qua việc phân loại chuyển động, tóm
tắt lí thuyết và đưa ra bài tập ví dụ cụ thể. Đề tài cũng đưa vào một số bài tập vận
dụng tương tự để củng cố kiến thức.
Tuy nhiên do thời gian nghiên cứu không dài, tài liệu nghiên cứu còn ít nên đề tài vẫn chưa đạt được kết quả mong muốn: lượng bài tập ví dụ ít và một số dạng bài chưa thể hiện hết sự khác biệt giữa các cách chọn hệ quy chiếu, việc sử dụng
các công cụ toán – tin trong xây dựng các hình vẽ chưa được thành thạo…Đề tài cũng mới chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu chuyển động cơ học,trong thực tế còn nhiều bài toán khác cũng cần đến việc xác định hệ quy chiếu thích hợp.
Dù vậy với những gì đã làm được chúng em tin rằng đề tài này sẽ trở thành tài liệu tham khảo rất bổ ích đối với sinh viên chuyên ngành vật lí khi nghiên cứu các chuyển động cơ học, đồng thời đối với học sinh THPT (lớp 10) thì đây cũng là một tài liệu giúp định hướng cách giải bài tập cơ học trong chương trình vật lí THPT được tốt hơn.
Trong thời gian tới chúng em sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề liên quan tới hệ quy chiếu nhằm bổ sung và hoàn thiện hơn đề tài này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
. Lương Duyên Bình, 2000, Vật lí đại cương tập 1 Cơ- nhiệt, NXB Giáo dục. . Nguyễn Xuân Chánh, 2008, Cơ học vật rắn, NXB Giáo dục Hà Nội.
. Tô Giang, 2014, Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí THPT, Cơ học 3, NXB Giáo dục Việt Nam.
. Tô Giang, 2012, Tài liệu chuyên Vật lí Vật lí 10, NXB Giáo dục Việt Nam. . Tô Bá Hạ, Phạm Văn Thiều, 2007, Những chuyên đề nâng cao Vật lí THPT, NXB Giáo dục.
. Vũ Văn Hùng, 2009, Cơ học, NXB Giáo dục Việt Nam. . Nguyễn Hữu Hồ, 2007, Cơ học 2, NXB Giáo dục Hà Nội.
. Vũ Thanh Khiết, 2013, Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT, NXB Hà Nội.
. Nguyễn Hữu Mình, 1998, Cơ học, NXB Giáo dục.
. Phạm Viết Trinh, 1982, Bài tập Vật lí đại cương tập 1, NXB Giáo dục. . Lê Trọng Tường, 2006, Bài tập Vật lí 10 Nâng cao, NXB Giáo dục.
