M T VÀI NG D NG TH CT Ế
Phương trình fuzzy bc 2: axx+bx+c=0 ậ
Phương trình fuzzy b c 2: axx+bx+c=0ậ
(a>0, b>0)(a>0, b>0) (a>0, b>0)(a>0, b>0) Tìm nghiê ơm x>0 Tìm nghiê ơm x>0 Ta cĩ Ta cĩ [la,ra]*[lx,rx]*[lx,rx]+[lc,rc]=0 [la,ra]*[lx,rx]*[lx,rx]+[lc,rc]=0
[la*lx*lx+lb*lx+lc, ra*rx*rx+rb*rx+rc]=0[la*lx*lx+lb*lx+lc, ra*rx*rx+rb*rx+rc]=0
la*lx*lx+lb*lx+lc=0 và ra*rx*rx+rb*rx+rc=0la*lx*lx+lb*lx+lc=0 và ra*rx*rx+rb*rx+rc=0
Đă ơt
Đă ơt ∆∆l=lb*lb-4*la*lcl=lb*lb-4*la*lc và
Để hai phương trình Để hai phương trình
la*lx*lx+lb*lx+lc =0 v
la*lx*lx+lb*lx+lc =0 vàà ra*rx*rx+rb*rx+rc=0 ra*rx*rx+rb*rx+rc=0 c cĩĩ nghi nghiệệm thì ta phm thì ta phảải ci cĩĩ ∆ ∆l>=0 vl>=0 vàà∆∆r>=0r>=0 Khi đ Khi đĩĩ lx=(-lb+
lx=(-lb+√∆√∆ll)/2*la, lx=(-lb-)/2*la, lx=(-lb-√∆√∆ll)/2*la)/2*la v
vàà rx=(-rb+rx=(-rb+√∆√∆rr)/2*ra, rx=(-rb-)/2*ra, rx=(-rb-√∆√∆rr)/2*ra)/2*ra Vì x>0 nên l
Vì x>0 nên loạioại b bỏỏ nghi nghiệệm âm, ta cm âm, ta cịịn ln lạại nghii nghiệệmm
lx=(-lb+
Thử lại điều kiê ơn x>0 cho nghiê ơm này, ta cĩ: Thử lại điều kiê ơn x>0 cho nghiê ơm này, ta cĩ:
lx>0lx>0 (-lb+(-lb+√∆√∆ll)/2*la)/2*la -lb--lb-√∆√∆ll>0>0 lb<lb<√∆√∆ll lb*lb<lb*lb<∆∆ll lb*lb<lb*lb-4*la*lclb*lb<lb*lb-4*la*lc 4*la*lc<04*la*lc<0 lc<0lc<0 Tương tự ta cũng cĩ rc<0 Tương tự ta cũng cĩ rc<0 Suy ra c<0 Suy ra c<0
Ngược lại, từ c<0 ta cũng suy ra được
Ngược lại, từ c<0 ta cũng suy ra được ∆∆l>0 và l>0 và ∆∆r>0r>0 Để phương trình cĩ nghi
Để phương trình cĩ nghiệệm là số fuzzy ta phm là số fuzzy ta phảải ci cĩĩ
lx<rxlx<rx
(-lb+(-lb+√∆√∆ll)/2*la, lx<(-rb+)/2*la, lx<(-rb+√∆√∆rr)/2*ra)/2*ra
ra*(-lb+ra*(-lb+√∆√∆ll)/2< la*(-rb+)/2< la*(-rb+√∆√∆rr)) Kết luâ ơn:
Kết luâ ơn:
Phương trình fu
Phương trình fuzzyzzy bâ ơc 2: bâ ơc 2: Với c<0 v
Với c<0 vàà ra*(-lb+ ra*(-lb+√∆√∆ll)<la*(-rb+)<la*(-rb+√∆√∆rr)) Thì cĩ nghiê ơm dương
Thì cĩ nghiê ơm dương X=[(-lb+
X=[(-lb+√∆√∆ll)/2*la, (-rb-)/2*la, (-rb-√∆√∆rr)/2*ra])/2*ra] T
Bài tập 1 :
Bài tập 1 : Hàm chân trị của một mệnh đề là 1 phép ánh xạ từ tập hợp các mệnh đề vào Hàm chân trị của một mệnh đề là 1 phép ánh xạ từ tập hợp các mệnh đề vào tập các giá trị chân lý. Hàm chân trị mờ, hay đa trị là hàm số t:S
tập các giá trị chân lý. Hàm chân trị mờ, hay đa trị là hàm số t:S →→[0,1], ánh xạ từ [0,1], ánh xạ từ tập hợp các mệnh đề vào khoảng liên tục [0,1], cịn gọi là tập các giá trị chân lý - tập hợp các mệnh đề vào khoảng liên tục [0,1], cịn gọi là tập các giá trị chân lý - chân trị. Xét các phép tốn and, or và not trên mệnh đề được xác định như cơng chân trị. Xét các phép tốn and, or và not trên mệnh đề được xác định như cơng thức (1), (2) và (3).
thức (1), (2) và (3).
Chứng minh rằng hàm min và max vẫn tuân theo các luật DeMorgan: Chứng minh rằng hàm min và max vẫn tuân theo các luật DeMorgan:
t(A and B) = t( not( notA or notB)) (a) t(A and B) = t( not( notA or notB)) (a) t(A or B) = t( not( notA and notB)) (b) t(A or B) = t( not( notA and notB)) (b)
hay hay
min(x,y)
min(x,y) = = 1 – max(1 – x, 1 – y)1 – max(1 – x, 1 – y) (c) (c) max(x,y)
Bài làm:
Bài làm: Trước hết ta sẽ chứng minh hai đẳng thức (c) và (d) Trước hết ta sẽ chứng minh hai đẳng thức (c) và (d)
Xét đẳng thức (c): Xét đẳng thức (c):
min(x.y)
min(x.y) == 1-max(1-x,1-y)1-max(1-x,1-y)
Ta xét hai trường hợp x>y và x Ta xét hai trường hợp x>y và x≤≤y.y. Trường hợp 1:
Trường hợp 1: giả xử x>y, khi đĩ ta cĩ: giả xử x>y, khi đĩ ta cĩ: VT=min(x,y) = y(vi2 x>y)
VT=min(x,y) = y(vi2 x>y) (*)(*) Mặt khác, do x>y, nên 1–x < 1–y.
Mặt khác, do x>y, nên 1–x < 1–y. Vì vậy max(1-x,1-y) = 1-y.
Vì vậy max(1-x,1-y) = 1-y.
Vậy : VP = 1-max(1-x,1-y) = 1-(1-y) = 1-1+y = y Vậy : VP = 1-max(1-x,1-y) = 1-(1-y) = 1-1+y = y (**)(**) Từ (*) và (**) ta được VT = VP (vì cùng bằng y) Từ (*) và (**) ta được VT = VP (vì cùng bằng y)
Trường hợp 2:
Trường hợp 2: với x với x ≤≤ y, khi đĩ ta cĩ: y, khi đĩ ta cĩ: VT = min(x,y) = x(vì x
VT = min(x,y) = x(vì x ≤≤ y) y) (*)(*) Mặt khác, do x
Mặt khác, do x≤≤y, nên 1–x y, nên 1–x ≥≥ 1–y. 1–y. Vì vậy max(1-x,1-y) = 1-x. Vì vậy max(1-x,1-y) = 1-x. Vậy : VP = 1-max(1-x,1-y) = 1-(1-x) = 1-1+x = x Vậy : VP = 1-max(1-x,1-y) = 1-(1-x) = 1-1+x = x (**)(**) Từ (*) và (**) ta được VT = VP (vì cùng bằng x) Từ (*) và (**) ta được VT = VP (vì cùng bằng x)
Vậy, cho dù x>y hay x
Vậy, cho dù x>y hay x≤≤y ta cũng đều được VT=VP, tức tay ta cũng đều được VT=VP, tức ta luơn cĩ:
luơn cĩ:
max(x,y)
Tương tự ta chứng minh cơng thức (d): Tương tự ta chứng minh cơng thức (d):
max(x,y)
max(x,y) == 1-max(1-x,1-y)1-max(1-x,1-y) (d)(d)
Áp dụng cơng thức (c) ta được: Áp dụng cơng thức (c) ta được:
min(1-x,1-y)
min(1-x,1-y) == 1-max(1-(1-x),1-(1-y))1-max(1-(1-x),1-(1-y)) =
= 1-max(1-1+x,1-1+y)1-max(1-1+x,1-1+y) =
= 1-max(x,y)1-max(x,y)
Vậy
Vậy VPVP == 1-min(1-x,1-y)1-min(1-x,1-y) = = 1-(1-max(x,y))1-(1-max(x,y)) = = 1-1+max(x,y)1-1+max(x,y) = = max(x,y)max(x,y) == VPVP Nên ta được Nên ta được max(x,y)
Bây giờ ta chứng minh đăng thức (a) Bây giờ ta chứng minh đăng thức (a)
t(A and B)
t(A and B) == t( not(notA or notB))t( not(notA or notB))(a)(a)
Theo định nghĩa của phép tĩan and trên hai mệnh đề, ta đuợc: Theo định nghĩa của phép tĩan and trên hai mệnh đề, ta đuợc:
t(A and B)
t(A and B) == min( t(A), t(B))min( t(A), t(B)) (1)(1)
Xét VP của (a), áp dụng (c) ta được: Xét VP của (a), áp dụng (c) ta được:
VP(a)
VP(a) == t( not(notA or notB))t( not(notA or notB)) =
= t( not[(1 - t(A)) or ( 1 - t(B))])t( not[(1 - t(A)) or ( 1 - t(B))]) (do 3)(do 3) =
= t( not[max(1 - t(A), 1 - t(B))])t( not[max(1 - t(A), 1 - t(B))]) (do 2)(do 2) =
= 1 – max(1 – t(A), 1 – t(B))1 – max(1 – t(A), 1 – t(B)) (do 3)(do 3) =
= min (t(A), t(B))min (t(A), t(B)) (do c)(do c) =
Vậy ta được : Vậy ta được :
t( A and B ) = t( not( notA or notB))
t( A and B ) = t( not( notA or notB)) (đpcm)(đpcm)
Bây giờ, ta chứng minh đẳng thứ (b) Bây giờ, ta chứng minh đẳng thứ (b)
t(A or B) = t( not( notA and notB))
t(A or B) = t( not( notA and notB)) (b)(b)
Theo định nghĩa của phép tĩan or trên hai mệnh đề, ta đuợc: Theo định nghĩa của phép tĩan or trên hai mệnh đề, ta đuợc:
t(A or B) = max (t(A), t(B))
t(A or B) = max (t(A), t(B)) (2)(2) Xét VP của (b), áp dụng (c) ta được:
Xét VP của (b), áp dụng (c) ta được:
VP(b) = t( not( notA and notB)) VP(b) = t( not( notA and notB))
= t( not[(1 - t(A)) and (1 - t(B))])= t( not[(1 - t(A)) and (1 - t(B))]) (do 3)(do 3)
= t( not[ min(1-t(A),1 - t(B))])= t( not[ min(1-t(A),1 - t(B))]) (do 1)(do 1)
= max (t(A), t(B))
= max (t(A), t(B)) (do d)(do d) =
= t(A and B)t(A and B) (do 1) (do 1)
Vậy ta được : Vậy ta được :
t( A or B )
t( A or B ) == t( not( notA and notB)) (đpcm)t( not( notA and notB)) (đpcm)
Kết luận:
Bài Tập 2:
Bài Tập 2: Chứng minh đẳng thức sau trong logic mờ với các phép tốn như Lukasiewics định Chứng minh đẳng thức sau trong logic mờ với các phép tốn như Lukasiewics định nghĩa :
nghĩa : t(A) + t(B)
t(A) + t(B) == t(A and B) + t(A or B)t(A and B) + t(A or B)
Bài làm:
Bài làm: Theo định nghĩa của phép tốn and và phép tốn or ta cĩ:Theo định nghĩa của phép tốn and và phép tốn or ta cĩ: t(A and B)
t(A and B) == min (t(A), t(B)) min (t(A), t(B)) (1) (1) t(A or B)
t(A or B) == max (t(A), t(B))max (t(A), t(B)) (2) (2) Vậy: VP(a)
Vậy: VP(a) == t(A and B) + t(A or B)t(A and B) + t(A or B) =
= min (t(A), t(B)) + max (t(A), t(B))min (t(A), t(B)) + max (t(A), t(B)) Dễ dàng ta nhận thấy :
Dễ dàng ta nhận thấy :
Bài tập 3 :
Bài tập 3 : Chứng minh mối quan hệ đa trị tổng quát giữa hai luật : Chứng minh mối quan hệ đa trị tổng quát giữa hai luật : Luật phi mâu thuẫn và luật bài trung, như sau :
Luật phi mâu thuẫn và luật bài trung, như sau : t(A and not-A) + t(A or not - A)
t(A and not-A) + t(A or not - A) == 11
Bài làm:
Bài làm: Ta xét vế trái của biểu thức, áp dụng bài 2 ta được:Ta xét vế trái của biểu thức, áp dụng bài 2 ta được: VT(a)
VT(a) = (t(A and notA) + t(A or notA)= (t(A and notA) + t(A or notA) = t(A ) + t(notA)
= t(A ) + t(notA) (do bài 2)(do bài 2) = t(A) + 1 - t(A)
= t(A) + 1 - t(A) (3)(3) = 1
= 1
Vậy, ta được:Vậy, ta được:
t(A and notA) + t(A or notA)
Kết luận:
Kết luận:
Luật phi mâu thuẫn t(A and not-A) nhận giá trị 0 khi và chỉ khi luật bài trung t(A or not-A) Luật phi mâu thuẫn t(A and not-A) nhận giá trị 0 khi và chỉ khi luật bài trung t(A or not-A)
nhận giá trị 1. Nếu trong trường hợp “nghịch lý”, tức t(A) = t(not-A), thì ta cĩ: nhận giá trị 1. Nếu trong trường hợp “nghịch lý”, tức t(A) = t(not-A), thì ta cĩ:
t(A and not-A) = min( t(A), t(not-A)) t(A and not-A) = min( t(A), t(not-A))
= min( t(A), t(A)) (do t(A)=t(not-A))= min( t(A), t(A)) (do t(A)=t(not-A))
= t(A)= t(A)
Tương tự ta cũng được: Tương tự ta cũng được:
t(A or not-A) = max( t(A), t(not-A)) t(A or not-A) = max( t(A), t(not-A))
= max( t(A), t(A))= max( t(A), t(A)) (do t(A)=t(not-A))(do t(A)=t(not-A))
Thay vào cơng thức ta được Thay vào cơng thức ta được
1 =
1 = t(A and notA) + t(A or notA)t(A and notA) + t(A or notA)
== t(A) + t(A)t(A) + t(A) Vậy
Vậy t(A) = 1/2t(A) = 1/2
Khi đĩ, giá trị chân lý của mệnh đề A và mệnh đề phủ định Khi đĩ, giá trị chân lý của mệnh đề A và mệnh đề phủ định
notA đều bằng nhau và bằng:
notA đều bằng nhau và bằng: t(A) = t(notA) = 1/2 . t(A) = t(notA) = 1/2 .
Tức, độ tin cậy của cả hai mệnh đề A và not-A đều chỉ Tức, độ tin cậy của cả hai mệnh đề A và not-A đều chỉ
đáng tin cậy một nửa. đáng tin cậy một nửa.
Bài tập 4 :
Bài tập 4 : Phép kéo theo Lukasiewics được định nghĩa như sau: Phép kéo theo Lukasiewics được định nghĩa như sau: tL (A
tL (A →→ B) B)== min(1, 1 – t(A) + t(B))min(1, 1 – t(A) + t(B)) Jan Lukasiewics đã dùng phép kéo theo này để đưa ra Jan Lukasiewics đã dùng phép kéo theo này để đưa ra
dạng max của phép tốn OR. Hãy chứng minh điều này: dạng max của phép tốn OR. Hãy chứng minh điều này:
t(A or B)
Bài làm:
Bài làm: Ta xét lần lượt từng vế của biểu thức : Ta xét lần lượt từng vế của biểu thức :
Xét vế trái của đẳng thức (1), theo định nghĩa của phép tốn OR, ta cĩ : Xét vế trái của đẳng thức (1), theo định nghĩa của phép tốn OR, ta cĩ :
VT(1) = t( A or B) VT(1) = t( A or B) = max(t(A),t(B))
= max(t(A),t(B)) (theo định nghĩa phép or)(theo định nghĩa phép or)
Xét vế phải của đẳng thức (1) , ta cĩ : Xét vế phải của đẳng thức (1) , ta cĩ :
VP(1) = tL( (A
VP(1) = tL( (A→→ B) B)→→B)B) = min(1,1-tL (A
= min(1,1-tL (A→→ B)+t(B)) (theo định nghĩa tL) B)+t(B)) (theo định nghĩa tL)
Ta xét 2 trường hợp t(A)>t(B) và t(A)
Ta xét 2 trường hợp t(A)>t(B) và t(A)≤≤ t(B) t(B)
Trường hợp 1 : Xét t(A)>t(B) , khi đĩ ta cĩ : Trường hợp 1 : Xét t(A)>t(B) , khi đĩ ta cĩ :
VT
VT = max(t(A),t(B))= max(t(A),t(B)) = t(A)
= t(A) (*)(*) (vì t(A)>t(B))(vì t(A)>t(B)) Mặt khác, do t(A)>t(B), nên t(B)-t(A) <0
Mặt khác, do t(A)>t(B), nên t(B)-t(A) <0 Vì vậy:
Vì vậy: 1–t(A)+t(B)1–t(A)+t(B) << 1 1 min(1,1-t(A)+t(B))
min(1,1-t(A)+t(B)) == 1-t(A)+t(B).1-t(A)+t(B). Do đĩ
Do đĩ
1 – min(1,1-t(A)+t(B))+t(B)
1 – min(1,1-t(A)+t(B))+t(B) = 1–(1-t(A)+t(B))+t(B)= 1–(1-t(A)+t(B))+t(B)
= 1 -1 +t(A) – t(B) + t(B) = 1 -1 +t(A) – t(B) + t(B) = t(A)
= t(A) Vậy
Vậy VP(a)VP(a) = min(1,t(A))= min(1,t(A))
= t(A) = t(A) (**) (**) (vì t(A)(vì t(A)≤≤1)1) Từ (*) và (**) ta được VT=VP ( vì cùng bằng t(A))
Trường hợp 2 : Xét t(A)
Trường hợp 2 : Xét t(A)≤≤ t(B) , khi đĩ ta cĩ : t(B) , khi đĩ ta cĩ : VT
VT = max(t(A),t(B))= max(t(A),t(B)) = t(B)
= t(B) (*)(*) (vì t(A)(vì t(A)≤≤ t(B)) t(B)) Mặt khác , do t(A)
Mặt khác , do t(A) ≤≤ t(B) ,nên t(B) ,nên t(B)-t(A)
t(B)-t(A) ≥≥ 0 0 Vì vậy:
Vì vậy: 1-t(A) +t(B)1-t(A) +t(B) ≥≥ 11 min(1,1-t(A)+t(B)) min(1,1-t(A)+t(B)) == 11 Do đĩ, 1 –min(1,1-t(A)+t(B))+t(B) Do đĩ, 1 –min(1,1-t(A)+t(B))+t(B) = 1–1+t(B)= 1–1+t(B) = t(B) = t(B) Vậy
Vậy VP(a)VP(a) = min(1,t(B)) = min(1,t(B)) = t(B) (**) (vì t(B) = t(B) (**) (vì t(B)≤≤ 1) 1)
Từ (*) và (**) ta được VT=VP ( vì cũng bằng t(B)) Từ (*) và (**) ta được VT=VP ( vì cũng bằng t(B))
Kết Luận:
Kết Luận: Vậy , cho dù t(A)>t(B) hay t(A) Vậy , cho dù t(A)>t(B) hay t(A) ≤≤ t(B) ta cũng đều được: t(B) ta cũng đều được: VT VT == VPVP tức ta luơn cĩ: tức ta luơn cĩ: t(A or B) t(A or B) == tL( (AtL( (A→→ B) B)→→B) B) (đpcm)(đpcm) Do đĩ, ta được Do đĩ, ta được VP(a)
VP(a) = min(t(A), t(B)) + max(t(A), t(B))= min(t(A), t(B)) + max(t(A), t(B)) = t(A) + t(B)
= t(A) + t(B) (áp dụng*)(áp dụng*) Vậy, ta được :
Vậy, ta được :
t(A) + t(B)