C. Vaọn dúng vaứo caực baứi toaựn khaực
CHUYÊN ẹỀ 10 – TÍNH CHIA HẾT ẹỐI VễÙI ẹA THệÙC A Dáng 1: Tỡm dử cuỷa pheựp chia maứ khõng thửùc hieọn pheựp chia
A. Dáng 1: Tỡm dử cuỷa pheựp chia maứ khõng thửùc hieọn pheựp chia
1. ẹa thửực chia coự dáng x – a (a laứ haống) a) ẹũnh lớ Bụdu (Bezout, 1730 – 1783):
Soỏ dử trong pheựp chia ủa thửực f(x) cho nhũ thửực x – a baống giaự trũ cuỷa f(x) tái x = a Ta coự: f(x) = (x – a). Q(x) + r
ẹaỳng thửực ủuựng vụựi mói x nẽn vụựi x = a, ta coự f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r
Ta suy ra: f(x) chia heỏt cho x – a ⇔ f(a) = 0
b) f(x) coự toồng caực heọ soỏ baống 0 thỡ chia heỏt cho x – 1
c) f(x) coự toồng caực heọ soỏ cuỷa háng tửỷ baọc chaỹn baống toồng caực heọ soỏ cuỷa caực háng tửỷ baọc leỷ thỡ chia heỏt cho x + 1
Vớ dú : Khõng laứm pheựp chia, haừy xeựt xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heỏt cho B = x + 1, C = x – 3 khõng
Keỏt quaỷ:
A chia heỏt cho B, khõng chia heỏt cho C 2. ẹa thửực chia coự baọc hai trụỷ lẽn
Caựch 1: Taựch ủa thửực bũ chia thaứnh toồng cuỷa caực ủa thửực chia heỏt cho ủa thửực chia vaứ dử Caựch 2: Xeựt giaự trũ riẽng: gói thửụng cuỷa pheựp chia laứ Q(x), dử laứ ax + b thỡ
Hệ số của đa thức chia Hệ số thứ 2 của đa thức bị chia + Hệ số thứ 1đa thức bị chia a
Vớ dú 1: Tỡm dử cuỷa pheựp chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Caựch 1: Ta bieỏt raống x2n – 1 chia heỏt cho x2 – 1 nẽn ta taựch: x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dử 3x + 1 Caựch 2:
Gói thửụng cuỷa pheựp chia laứ Q(x), dử laứ ax + b, Ta coự: x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b vụựi mói x ẹaỳng thửực ủuựng vụựi mói x nẽn vụựi x = 1, ta coự 4 = a + b (1) vụựi x = - 1 ta coự - 2 = - a + b (2)
Tửứ (1) vaứ (2) suy ra a = 3, b =1 nẽn ta ủửụùc dử laứ 3x + 1 Ghi nhụự:
an – bn chia heỏt cho a – b (a ≠ -b)
an + bn ( n leỷ) chia heỏt cho a + b (a ≠ -b) Vớ dú 2: Tỡm dử cuỷa caực pheựp chia a) x41 chia cho x2 + 1 b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 Giaỷi a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4 – 1 dử x nẽn chia cho x2 + 1 dử x b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9– x) + (x3 – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dử 4x c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 chia cho x2 + 1 dử – 2x + 7