L ời giải: (5) Û3x+ 2 4 x 19 x 3 =
1.3.1Tiêu chuẩn Weiersstrass
1 Giới hạn dãy số
1.3.1Tiêu chuẩn Weiersstrass
Định lí 1.7.Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ
Cụ thể, một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ, một dãy đơn điệu giảm và bị
chặn dưới thì hội tụ.
Ví dụ 1.3. Cho các dãy số (xn), (yn) được xác định như sau
1 0, 1 0, 1 , 1 , 1. 2 n n n n n n x y x a y b x + x y y+ + n = > = > = = " ³
Chứng minh rằng các dãy số (xn), (yn) hội tụ vàlimxn =limyn.
Lời giải.Ta xét hai trường hợp sau:
(i) Nếu a³b thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy (xn) là dãy giảm bị chặn dưới bởi a, còn dãy (yn) là dãy tăng bị chặn trên bởi a. Do đó theo định lý 1.7 tồn tại limxn, limyn và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta đượclimxn =limyn.
(ii) Nếu a£b tương tự như trường hợp (i).
Ví dụ 1.4. Cho dãy số (xn) được xác định như sau 1 1, 2 2, n 2 n 1 n, 1
x = x = x + = x + + x " ³n .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải. Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được (xn) là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý 1.7 ta có tồn tại limxn =a. Từ đẳng thức xn+2 = xn+1 + xn chuyển qua
giới hạn ta được a=2 a nhưng do a>0 nên chỉ lấya=4. Vậyliman =4.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.5. Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = 2,xn+1= 2+x nn, =1, 2,¼Chứng
minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tìm lim n
n x
®¥ .
Bài tập 1.6. Cho dãy số thỏa mãn điều kiện
( ) 1 1 0 1, 1 4 n n n x x + x < < - > .
Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.7. (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực (an), ( )bn thỏa mãn các điều kiện sau:
[ 1 1] [ ]
; , ,
n n n n n n
Khi đó tồn tại số thực c sao cho [ ] { } 0 , n n n a b c ¥ = = I và liman =limbn =c.
Bài tập 1.8. (VMO 2005). Cho dãy số thực (xn),n=1, 2, 3... được xác định bởi: 1
x =a và xn+1=3xn3-7xn2+5xn với n=1, 2, 3,... trong đó a là một số thực thuộc đoạn 0,4
3 é ù ê ú ë û.
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.9. (VMO 2002B). Xét phương trình
2 2
1 1 1 1 1
... ... 0
2x+x 1+ x 4+ + x k + + x n =
- - - - ,
trong đó n là tham số nguyên dương.
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất
nghiệm trong khoảng ( )0,1 ; kí hiệu nghiệm đó là xn.
2. Chứng minh rằng dãy số xn có giới hạn hữu hạn khi n® +¥.
Bài tập 1.10. Cho số thực a. Cho dãy số (xn),nÎ¥, được xác định bởi: 0
x =a và xn+1=xn+sinxn với mọinÎ¥.
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n® +¥ và tính giới hạn đó.