V. Tài liệu tham khảo:
Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương.
Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng. Để giải được các bài toán loại này không chỉ đòi hỏi người làm Toán phải sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của Toán học mà còn phải
có khả năng sáng tạo rất cao. Trong các bài toán về dãy số một vấn đề được quan tâm nhiều
là tính chất số học của dãy số như: tính chia hết, tính chất nguyên hay tính chính phương… Chúng rất đa dạng và phong phú. Trong nhiều trường hợp, dãy số chỉ là vỏ bề ngoài còn bản chất bài toán là một bài số học. Chính vì lẽ đó, các bài toán về số học nói chung, các
bài toán về tính chất số học của dãy số nói riêng thường xuất hiện trong các kì thi học sinh
giỏi quốc gia và quốc tế, vì nó bao gồm nhiều bài toán hay và khó. Trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏcủa dãy số nguyênđólà tính tuần hoàn, hi vọng rằng đây là một tài liệu tham khảo tốt cho các em học sinh khá và giỏi. Trước hết ta
hãy xem định lý sâu đây:
Định lý: Cho dãy số nguyên truy hồi cấp k ( k là số nguyên dương) nghĩa là Nếu dãy bị chặn thì nó là dãy tuần hoàn kể từ lúc nào đó.
Chứng minh:
Giả sử dãy bị chặn bởi số nguyên dương M, nghĩa là .
Xét các bộ k số Có tối đa
bộ khác nhau nên trong bộ đầu tiên phỉa có 2 bộ trùng nhau. Chẳng hạn
Nghĩa là
Mà nên
Đặt thì ta có
Vậy dãy tuần hoàn với chu kì kể từ
Hệ quả : Cho dãy số nguyên thoả mãn trong đó là các số nguyên và m là số
nguyên dương lớn hơn 1. Gọi là số dư trong phép chia cho m. Khi đó dãy tuần
hoàn.
Chứng minh:
Theo giả thiết ta có . Theo tính chất củađồng dư thức ta có
Theo các xác định ta có tức là dãy bị chặn và truy hồi tuyến tính cấp k nên theo định lý trêndãy tuần hoàn kể từ lúc nào đó, nghĩa là sao cho
Chọn ta được
Vậy . Tương tự ta có = ,…, Do đó dãy tuần hoàn với chu kì T.
Sau đây tôi sẽđưa ra một số ví dụđiển hình về việc áp dụng định lý trên. Các bài toán nêu ra ởđây đều sử dụngđến tính tuần hoàn của dãy số dư. Giả sử là số dư trong phép chia cho một số nguyên dương m nào đó. Khi đó dãy bị chặn và cũng có cùng công thức truy hồi với dãy nên theo hệ quả trên nó là dãy tuần hoàn.
Bài 1:
Cho Với là số dư của phép chia cho 100. Tìm số dư trong phép chia cho 8.
Bài giải:
Gọi là số dư trong phép chia cho 4. Theo giả thiết
nên
Mặt khác tức là dãy bị chặn do đó dãy này tuần hoàn. Ta tính được
Dễ kiểm tra tuần hoàn chu kì 6, nghĩa là
Lại có . Do nên cùng tính chẵn lẻsuy ra hay Vậy Mà . Do đó chia hết cho 8. Bài 2:
Cho dãy , n=0,1,2,… xác định bởi và Chứng minh rằng: chia hết cho 20
Bài giải:
Từ công thức truy hồi của dãy ta thấy ( .Gọi là số dư trong phép chia cho 4. Khi đó Hơn nữa ( nên tương tự
bài 1 dãy tuần hoàn chu kì 6.
Ta có ( . Vì vậy tức là chia hết cho 4. Mặt khác với ta có Suy ra Vậy . Do đó chia hết cho 20. Bài 3:
Cho dãy , n=,1,2,3… xác định bởi
Chứng minh rằng tồn tại vô số số hạng của dãy chia hết cho 2005.
Ta có chia hết cho 2005. Gọi là số dư trong phép chia cho 2005. Từ
công thức truy hồi của dãy ta có
Đồng thời dãy tuần hoàn kể từ lúc nào đó, nghĩa là sao cho .
Chọn ta được
Vậy . Tương tự ta cũng có
Do đó hay chia hết cho 2005 (đpcm)
Bài 4:
Cho dãy , n=,1,2,3… xác định bởi
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương tồn tai vô số số tự nhiên sao cho cùng chia hết cho .
Bài giải:
Xét dãy , n=,1,2,3… xác định như sau
Ta tính được Do đó
Gọi là số dư trong phép chia cho m. Khi đó dãy tuần hoàn nghĩa là tồn tại số
tự nhiên T>1 sao cho
Vậy chia hết cho m với hay
chia hết cho m với .
Bài 5:
Gọi là nghiệm dương lớn nhất của phương trình Xét dãy xác
định theo công thức sau: Tìm số dư trong phép chia cho 17.
Bài giải:
Đặt Ta có >0,
.
Do là hàm lien tục trên R nên phương trình có 3 nghiệm phân
biệt:
Đặt Khi đó là nghiệm của phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất có pt đặc trưng là Do đó ta có
Hay trong đó
( sử dụngđịnh lý Vi-et)
Vì vậy Do >0
Lại có nên
(do .
Vậy =( . Cho nên
= Vậy
Gọi là số dư trong phép chia cho 17. Khi đó dãy tuần hoàn và bằng tính toán
trực tiếp ta có
Dễ kiểm tra tuần hoàn chu kì 16, nghĩa là là
Vậy nên
hay chia 17dư 6.
Cuối cung tôi xin nêu thêm 2 bài tập khác có thể giải theo phương pháp này để bạn đọc
tham khảo
Bài 1:
Cho dãy , n=,1,2,3… xác định bởi
Chứng minh rằng:
a) Mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương.
b) Có vô số nguyên dương n sao cho có 4 chữ số tận cùng là 2003.
c) Không tồn tại số nguyên dương n sao cho có 4 chữ số tận cùng là 2004. Hướng dẫn: Biến đổi để dẫn đến
Bài 2:
Dãy số nguyên , n=,1,2,3… xác định bởi