3.31. Khái niệm chung về phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân riêng phần, cùng với điều kiện biên cụ thể.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con ( Phần tử). Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thỏa mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phân tử.
Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn ( PTHH) được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần(PTVPTP) và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt, lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hoàn toàn
(Những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đối mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn v. v.
PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con ( Phần tử) thuộc miền xác định của hàm. Trong PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm ( hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là chỉ ổn định số học, nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra trở lên vô nghĩa. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đểu có những ưu điểm và nhược điểm. PPPTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên miền phức tạp hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền
3.3.2. Trình tự của bài toán giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Để giải bài toán theo PPPHHH thông thường được thực hiện theo các bước như sau:
Bước1: Rời rạc hóa miền khảo sát, tạo lưới phần tử hữu hạn Bước 2: Xây dựng các phương trình phần tử
Bước 3: Lắp ghép các phương trình phần tử Bước 4: Khử điều kiện biên
Bước 5: Giải hệ phương trình toàn cục để tìm các giá trị nút Bước 6: Tính toán kết quả trên phần tử
3.3.3.Phạm vi ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn.
PPPTHH được bắt đầu từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander rennikoff (1941) và Richard Courant
(1942) nhưng cho đến nửa sau những năm 1950 thì PPPTHH chính thức mới phát triển trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley . Trong những năm 1960 trong ngành xây dựng. Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn sách và tổng kết trong An Analysis of The Finite Element Method và kể từ đó PPPTHH được tổng quát thành ngành của toán ứng dụng, Một mô hình số
học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng.
Phương pháp phần tử hữu hạn thường được ứng dụng trong các bài toán cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biên dạng của vật thể .
Ngoài ra, PPPTHH cũng được dùng trong vật lý học để giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ.
3.3.4. Các hình dạng phần tử cơ bản.
Khi giải một bài toán bằng PPPTHH việc đầu tiên là chia miền khảo sát thành hữu hạn các miền đơn giản, gọi là các phần tử. Với mỗi bài toán ta chọn loại phần tử thích hợp tương ứng. Các phần tử áp dụng cho bài toán truyền nhiệt khác với bài toán đàn hồi, cho dù dạng hình học của chúng là giống nhau. Các phấn tử này thường có các dạng một chiều (1D); hai chiều (dạng tấm, vỏ- 2D); khối 3D.
a) Phần tử 1D
c)Phần tử 3D
+ Phần tử một chiều ( 1D)
- Phần tử LINK( LINK1, LINK10, LINK34..) dùng để mô hình hóa thanh
(spar), lo xo, hệ thanh dàn. Phần tử thanh gồm 2 nút I, J chịu tải trọng dọc trục. Tại các nút của thanh có thể chuyển vị theo các trục tọa độ.
- Phần tử dầm BEAM ( BEAM3, BEAM4,BEAM44…) dùng để mô hình hóa các kết cấu dạng ống, hoặc mặt cắt ngang định hình, có thể chịu ứng suất uốn. Mặt cắt ngang của dầm có thể chịu lực dọc, lực cắt hay mô men. Tại các nút cóchuyển vị.
- Phần tử lò xo ( sping) được dùng để mô hình hóa là xo, kết cấu dải mảnh, hoặc thay thế các phần tử phức tạp bằng độ cứng
đương tương
(COMBI65,COMBIN14, MBIN39…)
+ Phần tử 2D ( phần tử vỏ tấm phẳng)
Dùng để mô hình hóa các bào toán phẳng để giải bài toán ứng suất, biến dạng phẳng
+ Phần tử 3D( Khối)
Dùng để mô hình hóa các bài toán khối ( SOLID..) để giải các bài toán : ứng suất, biến dạng, truyền nhiệt.v..vv