6. Ý nghĩa khoa học của đề tài
3.1. Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát
tổng quát.
Để thực hiện phần này ta chứng minh định lý sau:
Định lý 3.1.1 :Cho (x0, 0, 0, 0) D Ta giả thiết :
1) S là ánh xạ liên tục với ảnh đóng khác rỗng, T là ánh xạ nửa liên tục trên với ảnh đóng khác rỗng ;
2) F: K D D 2Ylà ánh xạ nửa liên tục trên.
Khi đó ánh xạ M với ảnh đóng là nửa liên tục trên và đóng tại ( 0, 0) .
Chứng minh : Trước hết, ta chứng minh M là đóng tại ( 0, 0). Ta giả sử M
không đóng, tức là tồn tại dãy ( , ) ( 0, 0), ( , ) ( 0, 0),
( , ) M( , ), ( 0 0)∉ M( 0, 0). Ta có ( , ) E( ). Vì E là ánh xạ đóng nên ta suy ra ( 0, 0) E( 0). Do (x , ) M( , ) nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết :
0 F( , , , z, ) với mọi z S( , , ).
Vì S là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới ( , , ) ( 0, 0, 0) nên lấy z S( 0, 0, 0) bất kỳ , ta khẳng định tồn tại S( , , ), z. Ta có: 0 F( , , , z, ) và ( , , , z, ) ( 0, 0, 0, z, 0). Vì F là ánh xạ đa trị đóng ta suy ra : 0 F( 0, 0, 0, z, 0). Vì z S( 0, 0, 0) bất kỳ nên ta khẳng định: 0 F( 0, 0, 0, z, 0) với mọi z S( 0, 0, 0) .
Điều này chứng tỏ ( 0, 0) M( 0, 0). Vậy M là ánh xạ đa trị đóng tại ( 0, 0).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
Bây giờ, ta chứng minh rằng ánh xạ M : x 2D×K là nửa liên tục trên tại ( 0, 0). Thật vậy, giả sử ngược lại, M không là nửa liên tục tại
( 0, 0). Khi đó, tồn tại tập mở U chứa tập M( 0, 0) sao cho mọi dãy ( , ) hội tụ đến ( 0, 0) đều tồn tại ( , ) M( , ), ( , ) ∉ U. Do tính nửa liên tục của S và nửa liên tục trên của T ta có thể giả thiết
( , ) ( 0, 0) và như vậy ( 0, 0) E( 0). Nếu x0 M( 0, 0), thì tồn tại z0 S (x0, 0), 0 F( 0, 0, 0, z, 0) (3.1)
Ta có ( , ) M( , ), ( 0, 0) E( 0).
0 F( 0, 0, 0, z0, 0) với mọi z0 S( , ).
Ta có ( , ) ( 0, 0). Do S là nửa liên tục dưới nên tồn tại z S( , ), z z .
0 F( , , , z , ) và ( , , , z , ) ( 0, 0, 0, z, 0)
Vì F là đóng nên ta suy ra: 0 F( 0, 0, 0, z, 0) . Điều này mâu thuẫn với (3.1). Vậy M là nửa liên tục trên tại ( 0, 0).
3.2. Tính nửa liên tục dƣới của ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát.
Ta xét bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số như ở phần trên. Trong phần này, ta tìm điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm M là nửa liên tục dưới. Ta có định lý sau:
Định lý 3.2 :
1) Cho S: D 2D là ánh xạ liên tục với ảnh khác rỗng;
2) Cho T: D 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên với ảnh khác rỗng đóng;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/
0∉F(y, x, x, z, với mọi z S(x,y, )} là tập đóng. Khi đó, M là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới.
Chứng minh : Lấy ( 0, 0) × . Ta chứng minh M là nửa liên tục dưới tại ( 0, 0). Thật vậy, giả sử M không nửa liên tục dưới ( 0, 0). Tức là, tồn tại dãy ( , ) ( 0, 0), tồn tại (x0,y0) M( 0, 0), để với mọi (x ,y ) M( , ), (x ,y ) không hội tụ tại (x0,y0). Vì E ánh xạ liên tục, (x0,y0) E( 0) nên tồn tại dãy (x'
,y' ) E( ), (x' ,y' ) (x0,y0),
(x ',y ') M( , ) ) (vì do trên ta đã thấy không có dãy nào thuộc M( , ) hội tụ với (x0,y0)). Từ đó, ta suy ra tồn tại z'
S(x' ,y' , ) 0 F(y' , x' , x' ,z' , ' )
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết (y , x , x ,z , , ) (y0, x0, x0,z0, 0, 0)
Ta có (y , x , x ,z , , ) A một tập đóng, do đó (y0, x0, x0,z0, 0, 0) A tức là:
0 F(y0, x0, x0,z0, 0, 0)
Điều này mâu thuẫn với (x0,y0) M( 0, 0) kéo theo 0 F (y0, x0, x0,z0). Vậy định lý được chứng minh.