3. Cỏch tiếp cận và phương phỏp nghiờn cứu
3.1.1.Trỡnh tự giải bài toỏn bằng phương phỏp phần tử hữu hạn
Bước 1: Chia miền tớnh toỏn thành nhiều miền nhỏ gọi là cỏc phần tử. Cỏc phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn cỏc điểm nỳt. Cỏc điểm nỳt này cú thể là đỉnh cỏc phần tử, cũng cú thể là một số điểm được quy ước trờn mặt (cạnh) của phần tử.
Bước 2: Trong phạm vi của mỗi phần tử, ta giả thiết một dạng phõn bố xỏc định nào đú của hàm cần tỡm, cú thể đú là:
+ Hàm chuyển vị. + Hàm ứng suất.
+ Cả hàm chuyển vị và hàm ứng suất.
Thụng thường giả thiết cỏc hàm này là những đa thức nguyờn mà cỏc hệ số của đa thức được gọi là cỏc thụng số. Trong phương phỏp PTHH, cỏc thụng số này được biểu diễn qua cỏc trị số của hàm và cú thể là cả cỏc trị số của cỏc đạo hàm của nú tại cỏc điểm nỳt của phần tử.
Tuỳ theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong cỏc bài toỏn kết cấu ta thường chia ra làm ba loại mụ hỡnh:
a. Mụ hỡnh tương thớch: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố
của chuyển vị trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Lagrange.
b. Mụ hỡnh cõn bằng: ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố ứng
suất hoặc nội lực trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Castigliano.
c. Mụ hỡnh hỗn hợp: ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của
cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Ta coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riờng biệt. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Reissner – Hellinger.
Dạng của đa thức được chọn như thế nào đú để bài toỏn hội tụ, cú nghĩa là đa thức cần phải chọn như thế nào đú để khi tăng số phần tử lờn khỏ lớn thỡ kết quả tớnh toỏn sẽ tiệm cận với kết quả chớnh xỏc.
Hàm xấp xỉ phải chọn như thế nào đú để đảm bảo được một số yờu cầu nhất định, trước tiờn là phải thoả món cỏc phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi. Nhưng để thoả món một cỏch chặt chẽ tất cả cỏc yờu cầu thỡ sẽ cú nhiều phức tạp trong việc chọn mụ hỡnh và lập thuật toỏn giải. Do đú trong thực tế người ta phải giảm bớt một số yờu cầu nào đú nhưng vẫn đảm bảo nghiệm đạt được độ chớnh xỏc yờu cầu.
Trong ba mụ hỡnh trờn thỡ mụ hỡnh tương thớch được sử dụng rộng rói hơn cả, cũn hai mụ hỡnh sau chỉ sử dụng cú hiệu quả trong một số bài toỏn nhất định.
Bước 3: Thiết lập hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn: Để thiết lập hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn giải bằng phương phỏp phần tử hữu hạn ta dựa vào cỏc nguyờn lý biến phõn. Từ cỏc nguyờn lý biến phõn ta rỳt ra được hệ phương trỡnh đại số tuyến tớnh dạng: K = F (3.1) Trong đú: e e ne e T eK L L K 1
là ma trận cứng của toàn kết cấu
e ne e T eF L F 1
là vộc tơ tải của toàn kết cấu
Bước 4: Giải hệ phương trỡnh (3.1) sẽ tỡm được cỏc hàm ẩn của toàn miền xột (cỏc giỏ trị hàm hoặc cỏc đạo hàm của nú) tại cỏc điểm nỳt.
Bước 5: Dựa vào cỏc phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi sẽ xỏc định được cỏc đại luợng cần tỡm khỏc, chẳng hạn trường ứng suất, trường biến dạng…