Điều chế và dịch tần số
2.3 Mối quan hệ giữa thời gian và tần số
Định lý Rayleigh và định lý nhị nguyên trong phần trước đã giúp chung ta rút ra kết luận hữu ích về các đại diện của miền tần số của tín hiệu năng lượng. Bây giờ chúng ta xem xét một số định lý khác liên quan tới biến đổi Fourier. Nó được bao gồm không chỉ là các bài tập thao tác, nhưng vì hai lý do rất thực tế. Thứ nhất, các định lý là vô nghĩa khi giải thích phổ vì nó thể hiện mối quan hệ giữa hoạt động miền thời gian và miền tần số. Thứ hai là chúng ta có thể xây dựng một danh mục rộng lớn của biến đổi cặp bằng cách áp dụng các định lý cho các cặp đã biết và biến đổi như vậy sẽ hữu ích khi chúng ta tìm kiếm các mô hình tín hiệu mới.Trong đó nêu rõ các định lý, cho chúng ta thấy một tín hiệu và biến đổi của nó ( hoặc phổ) bình thường hoặc đặc biệt, như trong
và . Nó cũng được ký hiệu gọn hơn bởi
Bảng T.1 ở phía sau liệt kê các định lý và chuyển đổi các cặp trình bày ở đây, cộng với một vài thứ khác.
Sự xếp chồng
Sự chồng chất áp dụng cho biến đổi Fourier theo định nghĩa sau đây. Nếu a2 là hằng số và
Khái quát các khoản với một số thuật ngữ tùy ý, chúng ta viết sự chồng chất (hoặc tuyến tính) định ly như
Định lý có sự kết hợp một cách đơn giản tổ hợp tuyến tính trong miền thời gian trở thành tổ hợp tuyến tính trong miền tần số.
Mặc dù bằng chứng về quan điểm, tầm quan trọng của nó không được chú trọng tương xứng. Từ một quan điểm thực tế Eq (1) tạo điều kiện vô cùng thuận lợi để phân tích phổ tín hiệu khi đang bàn đến là tổ hợp tuyến tính của chức năng phổ đơn là vấn đề đã được biết trước. Từ một quan điểm lý thuyết nó nhấn mạnh biến đổi Fourier cho việc nghiên cứu các hệ thống tuyến tính.
Thời gian trễ và thay đổi
Cung cấp một chức năng cho v(t), các dạng sóng có thể tạo ra bằng cách sửa đổi các đối số của hàm. Đặc biệt, thay thế t bởi t-td tạo ra các tín hiệu trễ v(t-td). Tín hiệu trễ có hình dạng giống như v(t) nhưng chuyển td các đơn vị bên phải dọc theo trục thời gian. Trong miền tần số thời gian trễ gây ra một giai đoạn tăng tuyến tính với độ dốc vì vậy
Nếu td là một số tiêu cực, tín hiệu tiên tiến trong miền thời gian và giai đoạn tăng có độ dốc tăng tích cực.
Phổ biên độ vẫn không thay đổi trong cả hai trường hợp, khi
Việc chứng minh thời gian trễ được thực hiện bằng cách làm thay đổi biến λ= t-td trong tích phân biến đổi. Do đó sử dụng ω=2πf nhỏ gọn chúng ta có
Tích phân trong ngoặc là V(f), vì vậy
Một trục thời gian hoạt động khác là mô hình thay đổi, nó tạo ra một hình ảnh thu nhỏ theo chiều ngang của v(t) thay thế cho t với αt. Tín hiệu quy mô v(αt) sẽ mở rộng nếu |α| <1 hoặc nếu thu hẹp nếu |α|>1. Một tiêu cực là thời gian đảo ngược sản lượng cũng như mở rộng hoặc nén. Hiệu ứng có thể xảy ra trong quá trình phát lại tín hiệu ghi.
Quy mô phát triển trong miền thời gian thay đổi tỉ lệ với đối ứng trong miền tần số, khi
Do đó một tín hiệu mở rộng quang phổ và trở lại nếu α= -1 thì bởi vậy cả tín hiệu và phổ đều đảo ngược.
Chúng ta chứng minh Eq (3) khi a<0 được viết bởi α= -|α| và làm cho thay đổi bởi biến
λ= -|α|t. Do đó t= λ/α, dt= -dλl|α| và
Sau đây, bỏ qua bước trung gian khi các loại của thao tác xảy ra.
Các tín hiệu trong phần 2.3-1a được xác định bằng cách sử dụng hai xung hình chữ nhật v(t)=AΠ(t/ȶ) vậy nên
Áp dụng định lý xếp chồng và dung lượng thời gian trễ có
Khi
Thời gian trong ngoặc vuông trong Za(f) là một trường hợp cụ thể của biểu thức
giới hạn đó lần lượt được tính bởi Fourier. Một phiên bản thông tin của biểu thức này được tính toán và sử dụng là định luật Euler, như
Theo kết quả trong Eq (4) tương ứng với trên ký hiệu (+) và kết quả thấp là ký hiệu (-). Trong các vấn đề ở bàn tay chúng ta có và vì vậy ɵ1 -ɵ2=πfT
và ở t0=td +T/2 như đánh dấu trong phần 2.3-la. Do đó sau khi thay thế bởi V(f), chúng ta được
Chú ý rằng Za(0)=0 đồng ý với thức tế là za(t) không có nét. Nếu t0=0 và thoái hóa dạng sóng trong phần 2.3-lb ở
Các xung trong tần số
Các xung trong tần số đặc trưng cho một đại lượng phức hoặc một giá trị bất biến. Cụ thể, cho v(t)=A là một đại lượng bất biến theo thời gian. Mặc dù, tín hiệu này có năng lượng là vô hạn, nhưng chung ta có thể thu được nó qua phép biến đổi trong miền giới hạn bằng việc xét đẳng thức sau v(t)= 0 lim sin 2 W A Wt A → = [10a]
bây giờ chúng ta đã biến đổi cặp Asinc 2Wt ↔ (A/2W)π(f/2W), nên
[10b]
Điều này từ phương trình (5) với ∈=2W và t=f, do đó
Và phổ của 1 hằng số trong miền thời gian là 1 xung trong miền tần số tại f=0
Kết quả này phù hợp với suy đoán của ta rằng tín hiệu là hằng số thì không có sự biến đổi theo thời gian và phổ phù hợp của nó phải được giới hạn f=0 dạn xung cho kết quả đơn giản bởi vì ta sử dụng dạng tổng quát quay lại về miền thời gian. Qua phép biến đổi ngược và 1
xung được yêu cầu tâp trung vùng vô cùng tại 1 điểm tần số riêng biệt. Kiểm tra công thức toán học, sử dụng phương trình (1)
1 2 2 ( ) ( ) ( 0) [ ] j t j ft f f f F A− δ +∞Aδ e πdt Ae π A = −∞ = ∫ = =
Phương trình này chúng minh đẳng thức 11 cho mục đích của chúng ta. Chú ý rằng xung được tổ hợp để thu được đại lương vật lý, tên tín hiệu v(t)=A
Để thay thế cho các phương pháp ở trên, ta bắt đầu với xung chữ nhật Aπ(t/τ), và cho t→∞ để thu được 1 số bất biến với mọi thời gian. Sau đó, từ F[Aπ(t/τ)]=Atsincfτ, kết hợp với pt 11
Và phương trình này đưa ra sự dồng ý trước đó trong phương trình 6 rằng 1 hàm sinc trở thành 1 xung dưới thỏa mãn điều kiện giới hạn
Để tổng quát phương trình (11), áp dụng sự chuyển dịch tần số và định lý điều kiện biên tần , thu được
Như vậy, phổ của 1 đại lượng phức đơn như phổ tại f=fc . trong khi, phổ của 1 đường hình sin có 2 xung được biểu diễn trong hình 2.5-3. Thậm chí, đi sau hơn thoe hướng này, nếu v(t) là 1 tín hiệu có chu kì tùy ý, dãy Fourier hàm số mũ là
Sau đó, biến đổi Fourier của hàm là
ở đây, sự chồng chất cho phép ta biến đổi tổng số hạng bằng số hạng trên thực tế, rõ rằng từ phương trinh 11 đến 14 cho thấy, nhiều phổ 2 đường kẻ được biến đổi thành phổ liên tục sử dừng những quy tắc : biến đổi đường phổ thành xung mà trọng lượng của nó tương ứng với đường chiều cao. Đoạn chia đường phổ được chú ý bởi cho xung trọng lượng là 1 số phức tạp. Do đó, nhờ sự biến đổi trong miền giới hạn, chúng ta có thể hình dung được cả tín hiệu có và không có chu kỳ bằng phổ liên tuc. Vì có những tín hiệu kì lạ khó giải quyết, do đó, hàm xung xuất hiện như chiếc chìa khóa để thống nhất được sự phân tích phổ. Nhưng bạn có thể hỏi rằng : điểm khác nhau giữa đường phổ và phổ liên tục của 1 chu kỳ tín hiệu là gì ? Rõ ràng là không có điểm khác biệt vật lý nào, mà điểm khác ở đây nằm trong những quy ước toán học. Để quay lại miền thời gian từ đường phổ, ta cộng tổng các đại lượng phức là các đường đặc chưng. Để quay lại miền thời gian từ phổ liên tục, ta tổng hợp các xung để thu được các đại lương phức
Hình 2.5-3 phổ của Acos(ωct+ϕ)
Tín hiệu hình sin ở trong hình 2.5-4a có tần số fc không đổi trừ khoảng -1/fc<t<1/fc. khoảng mà tần số nhảy lên đến 2 fc. như vậy 1 tín hiệu có thể được đưa ra bởi qus trình điều chỉnh biên độ tần số, được nghiên cứu trong chương 5. Sự quan tâm của ta ở đây là phổ, cái mà bao gồm cả xung và những phần cấu tạo lên nonimpulsive
Dể đạt được mục đích phân tích ta cho τ=2/fc và phân tích v(t) thành tổng của 3 số hạng như sau.
2 số hạng đầu tin biểu diễn dạng hàm cosin với một lỗ trống để đặt chỗ cho 1 xun RF tại tần số 2fc được biểu điễn bỏi số hạng thứ 3. Biến đổi v(t) số hạng bởi số hạng, sau đó
ở đây, ta đã dựa tren phương trinh 13 và kết quả của ví dụ 2.3-2. Dộ rộng của phổ được phác họa trong hình 2.5-4b, bỏ qua phần tần số âm. Chú ý rằng |V(f)| không đối xứng với f=fc vì những phần cấu thành nên nonimpulsive phải chứa số hạng tại 2fc
Hàm nhảy và hàm dấu
Chúng ta nhận thấy rằng 1 số không đổi theo thời gian thì trở thành 1 xung DC trong miền tần số. Bây giờ, hay xem xét xem liệu rằng 1 hàm nhảy đơn viji trong hình 2.3-5a, hàm mà nhảy từ off đến on tại t=0 và được định nghĩa như sau
[15]
Hàm này có 1 vài ứng dụng và lý thuyết Fourier, đặc biệt quan tâm tời tính nhân quả của tín hiệu từ các thời điểm hàm nhận lên bởi u(t)=0 với t<0. Tuy nhiên, do sự thiếu tính đối xứng đã gây ra 1 vấn đề, khi chúng ta đi tìm sự biến đổi tròng miền giới hạn . bởi vì phép toán giới hạn tương đương với việc tổng hơp các đường biên và phải thực hiện trong hành dạng không đối xứng, như chúng ta đã làm trong phương trình 10
Xoay quanh vấn đề này, ta sẽ bắt đầu với hàm dấu, còn được gọi là hàm tín hiệu đồ thị trong hình 2.5-5b, được định nghĩa là
Hàm này rõ ràng là hàm lẻ có tính đối xứng
Hàm dấu là 1 trường hợp có giới hạn của tín hiệu năng lượng Z(t) trong hình 2.5-6 khi
Hình 2.5-5 a :hàm nhảy đơn vị, b : hàm dấu
Hình 2.5-6
Do đó Z(t)→sgnt nếu b→0. Kết hợp với kết quả ví dụ 2.2-2 và bài tập 2.3-1 thu được
Do đó
Và chúng ta có cặp biến đổi
Sau đó, chúng ta chú ý từ hình 2.5-5 rằng hàm nhảy và hàm dấu quan hệ với nhau bởi
Do đó
Từ
Chú ý rằng phổ của hàm dấu không chứa xung DC. Điều này phù hợp với thực tế rằng sgnt là 1 hàm lẻ với 0 là giá trị trung bình khi tinh trung bình tỏng toàn bộ thời gian, như trong phương trình 9, phần 2.1. trái lại, giá trị trung binh của hàm nhảy đơn vị là <u(t)>=112 nên phổ của nó bao gồm 1/2δ(f) chính là sự biến đổi của 1 chu kỳ tín hiệu với giá trị trung bình c(0) bao gồm số hạng DC c(0) δ(f)
1 số hạng xung DC cũng xuất hiện trong định lý tổng quáy khi tín hiệu được tổng hợp có chứa vùng không thấp nhất, chúng ta suy ra tính chất này bằng việc nhân tích chập u(t) với 1 tín hiệu năng lượng v(t) tùy ý:
(19)
Từ u(t-A)=0 1 khoảng λ>t. Nghiệm từ định lý tích chập và phương trình 18
Nên
[20]
ở đây chúng ta sử dụng V(f)δ(f)=V(0)δ(f) phương trình 20 đưa ra lời khẳng định trước đó của chúng ta về định lý tổng quát khi V(0)=0. Bài tập 2.5-2
Áp dụng đinh lý điều chế biên độ để thu được phổ của đường hình sin có tính nhân quả v(t)=Au(t)cosωct
Xung trong miền thời gian
Mặc dù xung δ(t) trong miền thời gian dường như bị farfetched như 1 tín hiệu mẫu, nhưng chúng ta sẽ đi vào ý nghĩa thực tiễn trong chương sau. Tầm quan trọng như nhau là giá trị của δ(t) đặc chưng cho giải tích. Để thu được sự biến đổi hàm chúng ta cho τ→0 trong cặp mà chúng ta đã biết sau đây
Do đó, sự biến đổi của 1 xung thời gian có độ rộng không đổi, nghĩa à phổ của nó không đổi với mọi tần số trong sự đối xứng tương đương. Chúng ta có thể có chú ý rằng Aδ(t)↔A là đối ngẫu của A↔ Aδ(t). mối quan hệ đối ngẫu này đi theo 2 cực vô cùng của sự phân bố nghịch đảo trong đó.
Một tín hiệu xung với zero_duration có bề rộng phổ vô hạn, như 1 tín hiệu hằng số với khoảng thời gian vô hạn có về rộng zero_ spectral áp dụng định lý trễ cho phương trình 21 thu được cặp chung
Thật đơn giản, để thừa nhận hướng biến đổi quan hệ F[Aδ(t-td)]=Ae-j2πft d, và
F-1[Ae-j2πft
d]= Aδ(t-td), điều này dẫn đến 1 biểu thức tích phân quan trọng cho xung đơn vị. Rõ ràng từ
Ta kết luận rằng
[23]
Vì thế, tích phân bên trái có thể được ước lượng trong dạng giới hạn của xung đơn vị, 1 kết quả mà chúng ta sẽ sử dụng ngay cho việc làm 1 bằng chứng của định lý tích phân Fourier
Cho v(t) là hàm liên tục theo thời gian, với định nghĩa biến đổi V(f)=F[v(t)]. Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là chỉ ra rằng biến đổi ngược là gì, thực vậ, nó bằng v(t). từ định nghĩ và biến đổi ngược ta có thể viết
Nhưng tích phân trong ngoặc bằng δ(t-A), từ biểu thức 23 vì thế
Vì vậy F-1[V(f)] bằng v(t) trong điều tương tự rằng v(t)*δ(t)=v(t). 1 bằng chứng chặt chẽ hơn, là hiện tượng Gibbs tại điểm gián đoạn được cho bởi Papoulis(1962,chương 2). Cuối cùng, chúng ta liên hệ xung đơn vị với xung nhảy đơn vị bởi ý nghĩa của tích phân
Lý vi phân cả 2 vế ta được
Điều này đã làm sang tỏ them cho dạng xung khi đạo hàm 1 bước nhảy phương trình 26 và 22, kết hợp với định lý tích phân giải quyết các phép toán biến đổi nào đó và giup chúng ta dự đoán dạng phổ của tín hiệu tần số cao. Phương pháp cho bên dưới, tích phân nhiều lần tín hiệu cho tới khi xuất hiện 1 hoặc nhiều bước nhảy đầu tiên. Sau đó đạo hàm bậc n, rồi tính cả phổ Ak tại t=tk
ở đây w(t) là 1 hàm không phổ. Biến đổi đẳng thức 27a cho ta
điều này có thể giải quyết vấn đề V(f) nếu chúng ta biết W(f)=F[w(t)] hơn nữa, nếu |W(f)|→0 cũng như f→∞, cách sử lý cao tần của |V(f)|sẽ tỉ lệ với |f|-n và chúng ta nói rằng phổ có 1 nth_orderrolloff. 1 ý nghĩ lớn hơn của n như vậy ý nói rằng tín hiệu có ít rát ít tần số cao thích hợp . 1 lưu ý quan trọng trong thiết kế nhiều hệ thống truyền thông.
0 1/27 1/T 3/27 2/T (c)
Figure 2.5-7 Xung cos nâng lên. (a) Dạng sóng ; (b) Đạo hàm (c)Độ biên
phổ. 69
Chương 2 . TÍN HIỆU VÀ HÌNH ẢNH
Thao tác thường lệ cuối cùng đã tạo ra kết quả
2 3 2 sin 2 sin 2 ( ) 2 ( / ) ( 2 ) 1 (2 ) T A c jA f V f j f j f πτ π τ π τ π π πτ = = + −
Có biên độ phổ được phác thảo trong hình 2.5-7c vì f ≥
0 . Lưu ý rằng
( )
V f
có một song thứ ba (n=3). Trong khi một xung hình chữ nhật với
( )
V f
=
sin(π τf ) / (π τf )
sẽ chỉ có một sóng đầu tiên giảm
Bài tập 2.5-3. Cho ( ) 2 ( / ) v t = At τ∏ t τ Phác thảo dv(t)/dt và sử dụng phương trình (27) để tìm V(f). 2.6 BÀI TOÁN
2.2-1. Hãy xem xét các tín hiệu pha
0
2
( ) j j mf t
v t = Ae eϕ π
xác nhận rằng phương trình (14) sự cong chỉ do một hệ số khác không cmcó biên độ và giai đoạn thích hợp
2.1-2 Nếu một tín hiệu định kỳ có tính chất đối xứng v(-t) = v(t). Sau đó phương trình (14) có thể được viết là
Sử dụng biểu thức để tìm cnkhi v(t) = A cho 0 < t <T0 2 và v(t) = -A cho -T0 2 < t < 0. Như là một bước sơ bộ, bạn nên phác họa dạng sóng và xác định c0 trực tiếp từ
( )
v t