BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ PHỔ LIÊN TỤC
2.3 Mối liên hệ giữa thời gian và tần số
Định lý Rayleigh và định lý đối ngẫu trong phần trước giúp chúng ta rút ra kết luận về tính hữu ích của biểu diễn miền tần số của tín hiệu năng lượng. Bây giờ chúng ta sẽ xem
xét những định lý khác đã kết hợp với biến đổi Fourier.Chúng không chỉ bao gồm các bài toán vận dụng mà còn có 2 lý do thực tế.Đầu tiên,định lý là vô giá khi giải thích phổ,cho phép chúng ta biểu diễn mối quan hệ giữa phép tính trên miền thời gian và miền tần số.Thứ hai, chúng ta có thể căn cứ vào danh mục bao quát của cặp biến đổi đã biết nhờ định lý – như vậy sẽ có lợi khi chúng ta tìm mô hình tiến hiệu mới.
Trong định lý, chúng ta biểu thị tín hiệu và biến đổi của nó (hoặc phổ)bằng chữ thường và chữ hoa, như trong V f( )= ℑ[ ( )]v t
và
1
( ) [ ( )]
v t = ℑ− V f
.Điều này cũng kí hiệu gọn hơn bởi v(t)↔ V(f) .Bảng T.1 trong danh sách sau định lý và cặp biến đổi bao gồm ở đây, cộng thêm 1 số cái khác.
Sự xếp chồng
Sự xếp chồng ứng dụng cho biến đổi Fourier trong câu bên dưới. Nếu a1 và a2 là hằng số và 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) v t =a v t +a v t Thì 1 1 2 2 [ ( )]v t a [ ( )]v t a [ ( )]v t ℑ = ℑ + ℑ
Tổng quát hóa cho tổng với số tùy ý của giới hạn ,chúng ta viết nguyên lý xếp chồng (hoặc tuyến tính) như sau
( ) ( ) k k k k k k a v t ↔ a V f ∑ ∑ [1]
Định lý chỉ đơn giản nói rằng tổ hợp tuyến tính trong miền thời gian trở thành tổ hợp tuyến tính trong miền tần số.
Mặc dù việc chứng minh định lý là đơn giản,tầm quan trọng của nó không thể nhấn mạnh quá mức. Từ quan điểm thực tế trong CT (1) tạo điều kiện rất nhiều trong phân tích quang phổ khi tín hiệu trong câu hỏi là tổ hợp tuyến tính của hàm có quang phổ đặc biệt đã biết.Từ quan điểm thực tiễn nó nhấn mạnh tính ứng dụng của biến đổi Fourier trong nghiên cứu hệ thống tuyến tính.
Trễ thời gian và quy mô thay đổi
Cho hàm thời gian v(t) và những dạng sóng khác nhau phát sinh từ nó khi tay đổi argument của hàm . Chính xác, thay t bởi t t− d
kết quả của trễ thời gian được tín hiệu
( d)
v t t−
.Tín hiệu trễ có dạng giống v(t) nhưng đồ thị dịch về bên phải td đơn vị dọc theo trục thời gian. Trong miền tần số ,trễ thời gian gây ra một đoạn tăng tuyến tính với độ dốc−2πtd
, nên
Nếu td có giá trị âm thì tín hiệu được nâng cao theo thời gian và giai đoạn thêm vào có độ dốc dương.Biên độ của tín hiệu còn laj không thay đổi trong mỗi trường hợp . Từ đó
Chứng minh định lý trễ thời gian bằng cách thay đổi biến λ = −t td
trong biến đổi tích phân. Do đó,sử dụng ω =2πf
cho độ chặt, chúng ta có
Tích phân trong ngoặc vuông chỉ là V(f),nên
1 phép toán nữa trên trục thời gian là thay đổi tỉ lệ,tạo ra sự thay đổi tỷ lệ hình ảnh theo bề ngang của v(t) bằng cách thay t bằng ∝tTỷ lệ của v(t) sẽ mở rộng nếu |α|<1hoặc thu hẹp nếu |α|>1; giá trị âm của hàm năng suất nghịch đảo cũng mở rộng hoặc co lại.
Tỷ lệ thay đổi trong miền thời gian trở thành nghịch đảo của tỷ lệ thay đổi trong miền tần số, từ đó
Do đó nén tìn hiệu thì mở rộng quang phổ của nó và ngược lại . Nếu α=-1,khi đó v(-t)↔ V(-f)cả tín hiệu và quang phổ đều bị đảo ngược.
Chúng ta sẽ chứng minh phương trình (3) cho trường hợpα<0 bằng cách thay α=-|α|và gọi biến λ=-|α|t.Do đó , Và
Chú ý chứng minh này sử dụng mối quan hệ tổng quát
Sau đây , bước trung gian sẽ được loại bỏ khi thao tác xảy ra.
Tín hiệu trong hình 2.3-1a được vẽ bằng cách sử dụng 2 xung chữ nhật v t( )= ΠA ( / )t τ như sau
Áp dụng định lý chồng chất và trễ thời gian ta được
Khi
Biểu thức trong dấu ngoặc vuông của Z fa( ) Là trường hợp đặc biệt của biểu thức ,biểu thức thường được tra cứu trong phép phân tích Fourier. Dạng khác hữu ich hơn của biêu thức này thu được bằng cách sử dụng định lý Euler như sau:
Kết quả trên trong phương trình (4) tương ứng với phần tín hiệu (+) và kết quả dưới tương ứng với phần tín hiệu (-).
Trong bài toán ta có θ1= −πftd
Vàθ2 = −π f t( d +T)
,nênθ θ1− =2 πfT
Và θ θ1+ = −2 2πft0 khit0 = +td T/ 2
như trên hình 2.3-la. Sau đó thế cho V(f), ta dược
Chú ý rằng Za(0) 0=
, đồng nghĩa với thực tế rằng z ta( )có vùng có giá trị bằng 0.
Nếu t0 =0
và T =τ
, z ta( )suy biến thành dạng sóng trong hình 2.3-1b khi
Quang phổ này hoàn toàn là ảo, bởi vì Zb có tính đối xứng lẻ. Bài tập 2.3-1
Cho tín hiệu v(t) là thực nhưng mặt khác năng lượng tùy ý. Chứng minh rằng nếu
Thì
ở đây Ve(f) và V0(f) là thực và là những phần ảo của V(f).