Trong toán học, phương pháp bình phương tối thiểu, còn gọi là bình phương nhỏ nhất hay bình phương trung bình tối thiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số thống kê giữa đường khớp và dữ liệu.
Phương pháp này giả định các sai số của phép đo đạc dữ liệu là ngẫu nhiên. Định lý Gauss-Markov chứng minh rằng kết quả thu được từ phương pháp bình phương tối thiểu không thiên vị và sai số của việc đo đạc dữ liệu không nhất thiết phải tuân theo, ví dụ, phân bố Gauss. Một phương pháp mở rộng từ phương pháp này là bình phương tối thiểu có trọng số).
Phương pháp bình phương tối thiểu thường được dùng trong khớp đường cong. Nhiều bài toán tối ưu hóa cũng được quy về việc tìm cực trị của dạng bình phương, ví dụ như tìm cực tiểu của năng lượng hay cực đại của entropy.
Giả sử dữ liệu gồm các điểm (xi, yi) với i = 1, 2, ..., n. Chúng ta cần tìm một hàm sốf
thỏa mãn f(xi) ≈ yi
Giả sử hàm f có thể thay đổi hình dạng, phụ thuộc vào một số tham số, pj với j = 1, 2, ..., m.
f(x) = f(pj, x)
Nội dung của phương pháp là tìm giá trị của các tham số pj sao cho biểu thức sau đạt cực tiểu: ( ) ( )2 2 1 n i i i y f x = χ =∑ − (PL.8)
Nội dung này giải thích tại sao tên của phương pháp là bình phương tối thiểu.
Đôi khi thay vì tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương, người ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương trung bình: ( ) ( )2 2 1 1 n i i i y f x n = χ = ∑ − (PL.9)
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1] “Bit-allocation strategies for closed-loop MIMO OFDM”, Vehicular Technology Conf. (VTC’03), Orlando, FL.
[2] “Synchronization for MIMO OFDM systems”, Proc. Globecom 2001, pp. 509– 513.
[3] A. Dammann, S. Kaiser, “Standard conformable antenna diversity techniques for OFDM and its application to the DVB-T system”, Proc. IEEE Globecom, 2001, pp. 3100–3105.
[4] A. Dammann, P. Lusina, M. Bossert, “On the equivalence of space–time block coding with multipath propagation and/or cyclic delay diversity in OFDM”, Proc. Eur. Wireless 2002, pp. 847–851.
[5] A. N. Mody, G. L. Stuber, “Sampling frequency offset estimation and time tracking for MIMO OFDM systems”, the 8th OFDM Workshop 2003, Hamburg, Germany.
[6] A. Wittneben, “A new bandwidth efficient transmit antenna modulation diversity scheme for linear digital modulation”, Proc. IEEE Int. Conf. Communications, 1993, pp. 1630–1634.
[7] Beek, J. Edfors, O. Sandeel, “On Channel Estimation in OFDM Systems”, Proc. IEEE Vehicular Technology Conf., vol. 2, 1995, pp. 815–819.
[8] Cioffi, J. Bingham, J. A. C., “A Data-Driven Multitone Echo Canceller”, IEEE Trans. Commun., vol. 42, no. 10, pp. 2853–2869, Oct. 1994.
[9] D. Agrawal, V. Tarokh, A. Naguib, N. Seshadri, “Space–time coded OFDM high data-rate wireless communication over wideband channels”, Proc. IEEE Vehicular Technology Conf., 1998, pp. 2232–2236.
[10] Dongming, W. Bing, H. Junhui, Z. Xiqi, G. Xiaohu, “Channel Estimation Algorithms for Broadband MIMO-OFDM Sparse Channel”, Proc. 14-th IEEE Int. Symp. Personal, Indoor and Mobile Radio Communications, Beijing, China, 07. - 10. Sept. 2003, pp. 1929–1933.
[11] ETSI DTS/BRAN-0023003, “HIPERLAN Type 2 Technical Specification”, Physical (PHY) layer. 1999.
[12] Foschini GJ, Gans MJ. “On limits of wireless communications in a fading environment when using multiple antennas”. Wireless Personal Communications, vol.6, no.3, March 1998, pp.311-35. Publisher: Kluwer Academic Publishers, Netherlands.
[13] G. G. Raleigh, J. M. Cioffi, “Spatio-temporal coding for wireless communcation” IEEE Trans. Commun., vol. 46, pp. 357–366, Mar. 1998.
[14] H. Bö lcskei, A. Paulraj, “Space-frequency coded broadband OFDM systems” Proc. IEEE Wireless Communications Networking Conf., 2000, pp. 1–6.
[15] H. Bö lcskei, A. Paulraj, “Space-frequency codes for broadband fading channels” Proc. IEEE Int. Symp. Info. Theory, 2001, p. 219.
[16] H¨oher P., “A Statistical Discrete-Time Model for the WSSUS Multipath Channel”, IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 41, no. 4, pp. 461–468, Nov. 1992.
[17] IEEE 802.11a – 1999, part II: “Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) specifications”. High-speed Physical Layer in the 5 GHz Band.
[18] J. H. Sung, J. R. Barry, “Bit-allocation strategies for MIMO fading channels with channel knowledge at the transmitter”, the Spring VTC, Jeju, Korea, 2003.
[19] J. H. Winters, “The diversity gain of transmit diversity in wireless systems with Rayleigh fading” Proc. IEEE Int. Conf. Communications, 1994, pp. 1121–1125.
[20] J. Ng, K. Ben Letaief, R. Murch, “Complex Optimal Sequences with Constant Magnitude for Fast Channel Estimation Initialization”, IEEE Tran. On Comm., Vol. 46, No. 3, March 1998.
[21] J. Tan and G. L. Stü ber, “Multicarrier delay diversity modulation for MIMO systems”, IEEE Trans. Wireless Commun.
[22] Kim, D.; Stuber, G. L., “Residual ISI Cancellation for OFDM with Applications to HDTV Broadcasting” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 16, No. 8, pp. 902–914, Oct. 1998.
[23] Li, Y.; Seshadri, N.; Ariyavisitakul, S., “Channel estimation for OFDM systems with transmitter diversity in mobile wireless channels” IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 17, no. 3, pp. 461 – 471, March 1999.
[24] Nguyen, V. D., Matthias Pätzold, “Least Square Channel Estimation using spacial Training Sequences for MIMO-OFDM systems in the presence of Intersymbols Interference”, Germany: Shaker Verlag, Aachen 2004.
[25] Bengt Holter, “On the capacity of the MIMO channel – A tutorial introduction”, Norwegian University of Science and Technology, Department of Telecommunications, Norway.
[26] S. Kaiser, “Spatial transmit diversity techniques for broadband OFDM systems” in Proc. IEEE Globecom, 2000, pp. 1824–1828.
[27] Scharf, L., “Statistical Signal Processing”. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1991.
[28] Schulze, H., “Stochastische Modelle und digitale Simulation von Mobilfunkkanalen” U. R. S.I./ITG Conf. Kleinheubach 1988, Germany (FR), Proc. Kleinheubacher Reports of the German PTT, Darmstadt, Germany, 1989, pp. 473-483, in German.
[29] T. M. Schmidl, D. C. Cox, “Robust Frequency and Timing Synchronization for OFDM”, IEEE Tran. On Comm., Vol. 45, No 12, January 1997.
[30] W. Su, Z. Safar, M. Olfat, R. Liu, “Obtaining full-diversity space-frequency codes from space–time codes via mapping” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 51, pp. 2905–2916, Nov. 2003.
[31] X. Zhu and R. D. Murch, “Performance analysis of maximum likelihood detection in a MIMO antenna system” IEEE Trans. Commun., vol. 50, pp. 187–191, Feb. 2002.