Định nghĩa hệ thống truyền thông báo như sau:
Trong mạng G = (V, E, ), mỗi nút là một thực thể tính toán và liên lạc với các nút khác bằng cách trao đổi thông báo. Chúng ta giả thiết rằng mỗi nút có một định danh phân biệt. Một nút v thực hiện một chuỗi các thao tác sau :
receive(m, v(e)): Nút v nhận một thông báo m từ hàng xóm của nó thông qua liên kết được gắn nhãn v(e), và thực hiện tính toán cục bộ.
send(m, v(e)): Nút v gửi một thông báo m tới hàng xóm của nó thông qua liên kết được gắn nhãn v(e).
Trạng thái của nút được biểu diễn bởi tập các biến của nút. Chúng ta giả thiết một nút thay đổi trạng thái của nó chỉ khi nhận được một thông báo; mỗi nút thực hiện tính toán cục bộ và gửi một vài thông báo chỉ khi nó nhận được một thông báo từ hàng xóm của nó. Trạng thái của nút được ký hiệu bởi :
(sv, (m, v(e) ) ) (sv, M)
Trong đó M là một tập các thông báo (M = { (m1 ,v(e1)), (m2 ,v(e2)), … }, 0 | M|), sự chuyển ở trên nghĩa là nút v với trạng thái sv đã nhận được thông báo m
qua liên kết v(e) thay đổi trạng thái của nó thành sv và gửi các thông báo m1, m2, … thông qua các liên kết liên thuộc với v. Ngoại trừ các nút khởi tạo một thực hiện tính toán cục bộ một cách tự động. Đó là một sự chuyển trạng thái khởi tạo của nút ban đầu xảy ra mà không cần nhận thông báo. Chúng ta giả thiết sự chuyển trạng thái là nguyên tử.
Một hệ thống là không đồng bộ nếu độ trễ tính toán và thời gian tính toán cục bộ
là không thể dự đoán nhưng hữu hạn. Ngược lại một hệ thống là đồng bộ nếu thực hiện của tất cả các nút được phân chia thành các vòng; trong mỗi vòng, mỗi nút nhận tất cả các thông báo đã gửi trong vòng trước, thực hiện tính toán cục bộ, và gửi thông báo cho các hàng xóm của nó.
Một giải thuật trong hệ thống truyền thông báo giả định là truyền thông tin cậy. Truyền thông tin cậy thỏa mãn các tính chất sau:
(Sống động – Liveness) Mỗi thông báo được gửi đi bởi một nút v tới hàng xóm u
cuối cùng sẽ được nhận bởi u.
(Toàn vẹn - Integrity) Mỗi thông báo nhận được trước đó được gửi bởi một nút.
(Không có sao lặp - No Duplicates) Không có thông báo nào được nhận nhiều
hơn một lần tại bất kỳ nút nào.
NLEP là bài toán mà mỗi nút quyết định cuối cùng một thủ lĩnh chung duy nhất. Chúng ta xem xét vấn đề NLEP với giả thiết có chính xác k nút là các nút khởi tạo, NLEP được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 4.3-1. (NLEP - Node Leader Election Problem). Cho v0, v1, … ,vk-1 ( 1 k < N) là các nút khởi tạo trong mạng G. Một giải thuật được gọi là giải quyết vấn đề bầu thủ lĩnh nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
Có chính xác một trong số các nút được bầu chọn là thủ lĩnh và tất cả các nút
trong G biết định danh của thủ lĩnh.
Khi một nút quyết định trở thành thủ lĩnh, nó sẽ không bao giờ thay đổi quyết
định đó.
Định lý 4.3-1. Bài toán NLEP có thể giải quyết được bởi bất cứ giải thuật MAGP nào trong hệ tác tử di động.
Chứng minh. Mỗi nút ban đầu vi tạo một tác tử pi có thông tin khởi tạo Ii chính là định danh của nút vi. Bằng cách áp dụng một giải thuật MAGP, k tác tử được tạo bởi k
nút ban đầu thu thập tất cả định danh của các nút ban đầu. Nút có định danh lớn nhất trong số các nút này biết nó là thủ lĩnh, các nút còn lại biết định danh của thủ lĩnh. Bài toán NLEP đã được giải quyết.
Bây giờ, chúng ta chứng minh rằng MAGP có thể được quy về bài toán NLEP.
Định lý 4.3-2. Bài toán MAGP có thể được giải quyết bằng cách dùng giải thuật NLEP.
Chứng minh. Để chứng minh định lý này, chúng ta cần mô phỏng một giải thuật
truyền thông báo trong hệ tác tử di động. Chúng ta trình bày giải thuật mô phỏng hiệu quả cho các giải thuật truyền thông báo mà chỉ yêu cầu O(1) bước di chuyển của tác tử đối với mỗi thông báo. Chúng ta giả thiết rằng các giải thuật truyền thông báo kết thúc trong thời gian hữu hạn trong các hệ thống không đồng bộ. Chúng ta cũng giả định rằng nút ban đầu tương ứng với nút nhà của một tác tử.