Tại thời điểm k, tín hiệu tiếng nói được mô tả bởi 2 phương trình: Phương trình tuyến tính trạng thái
Kết quả phép đo
Yêu cầu sử dụng thông tin chứa trong phép đo mới y(k) để cập nhật đánh giá trạng thái chưa biết x(k)
Đặt là đánh giá tiên nghiệm của trạng thái mà tồn tại tại thời điểm k. Với bộ đánh giá tuyến tính, chúng ta có thể biễu diễn đánh giá hậu nghiệm là tổ hợp tuyến tính của đánh giá tiên nghiệm và phép đo mới:
Ma trận thừa số và cần được xác định Sai số vector trạng thái được xác định bởi:
Áp dụng (2) (3) (4) (5) ta có
Do nhiễu quá trình và nhiễu đo không tương quan nên
Sắp xếp lại các số hạng, chúng ta có thể viết lại (6)
Trong đó, I là ma trận đơn vị. Áp dụng nguyên lý trực giao và chúng ta có
(7) trở thành
Đối với các giá trị bất kỳ của x(k) và quan sát y(i), biểu thức (8) chỉ có thể thỏa mãn nếu
Thay thế biểu thức (9) vào (3), chúng ta có thể biểu diễn đánh giá hậu nghiệm của trạng thái tại thời điểm k như sau:
Ma trận K(k) còn gọi là ma trận khuếch đại Kalman. Từ nguyên lý trực giao chúng ta có:
Trong đó, là đánh giá của y(k) cho trước phép đo trước đó. Định nghĩa quá trình khôi phục:
Quá trình khôi phục biểu diễn một phép đo thông tin “mới” chứa trong y(k). Cũng có thể biểu diễn thành:
(11) – (12) và áp dụng (13) ta có:
Sử dụng biểu thức (2) và (10), chúng ta có thể biểu diễn vector trạng thái sai số
Thay thế (14) và (16) vào (15), ta nhận được:
Do nhiễu đo v(k) độc lập với trạng thái x(k) và do đó biểu thức (17) trở thành:
Định nghĩa ma trận tương quan sai số tiên nghiệm
Dựa vào định nghĩa ma trận phương sai của nhiễu Gauss v(k) và (19), chúng ta có thể viết biểu thức (18)
K(k) được xác định theo các thành phần của ma trận tương quan tiên nghiệm P
Tương quan sai số tiên nghiệm P tại thời điểm k được xác định theo (19). Cho trước P , ma trận tương quan sai số hậu nghiệm tại thời điểm k, được xác định bởi
Cho ma trận phương sai hậu nghiệm “cũ”, , tính ma trận phương sai hậu nghiệm .
Để thực hiện ở trên, chúng ta thay (16) vào (22) và chú ý quá trình ngẫu nhiên v(k) độc lập với sai số đánh giá trên nghiệm, chúng ta nhận được:
Khai triển các thành phần trong biểu thức (23) và sau đó sử dụng (21), chúng ta có thể xác định lại sự phụ thuộc của ma trận tương quan hậu nghiệm theo ma trận tương quan tiên nghiệm với dạng đơn giản sau:
Đối với bước 2 của lan truyền tương quan sai số, đầu tiên chúng ta nhận thấy rằng, đánh giá tiên nghiệm của trạng thái được xác định theo thành phần đánh giá hậu nghiệm cũ như sau:
Chúng ta có thể sử dụng (1) và (25) để biểu diễn sau số đánh giá tiên nghiệm ở dạng khác:
Sử dụng (26) vào (19) và chú ý là nhiễu quá trình w(k) độc lập với , nhận được:
Công thức này xác định sự phụ thuộc của ma trận tương quan tiên nghiệm vào ma trận tương quan hậu nghiệm “cũ” .
Với (25), (27), (21), (10) và (24), chúng ta có thể tóm tắt việc đánh giá truy hồi trạng thái trong đó đánh giá trạng thái ban đầu được chọn là:
Và giá trị ban đầu của ma trận tương quan hậu nghiệm:
Lựa chọn này cho điều kiện đầu không chỉ thỏa mãn về mặt trực giác mà còn đảm bảo đánh giá không chệch trạng thái
- Ước đoán trạng thái tiên nghiệm, và sau đó
- Dựa vào kết quả đo để hiệu chỉnh lại ước đoán. Ta có thể tóm tắt lại hoạt động của bộ lọc Kalman bằng các phương trình sau:
Hình 3-3 Hoạt động bộ lọc Kalman