Vào năm 1960, R.E Kalman đã công bố bài báo nổi tiếng về một giải pháp truy hồi để giải quyết bài tóan lọc thông tin rời rạc tuyến tính (discrete data linear filtering). Tên đầy đủ của bài báo là "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems" . Từ đó đến nay cùng với sự phát triển của tính toán kỹ thuật số, bộ lọc Kalman đã trở thành chủ đề nghiên cứu sôi nổi và được ứng dụng trong nhiều ngành kỹ thuật công nghệ khác nhau:
- Trong tự động hóa.
- Trong định vị cũng như trong viễn thông (và nhiều lĩnh vực khác nữa). Một cách khái quát, bộ lọc Kalman là một tập hợp các phương trình tóan học mô tả một phương pháp tính toán truy hồi hiệu qủa cho phép ước đoán trạng thái của một quá trình (process) sao cho trung bình phương sai của độ lệch (giữa giá trị thực và giá trị ước đóan) là nhỏ nhất. Bộ lọc Kalman rất hiệu quả trong việc ước đóan các trạng thái trong quá khứ, hiện tại và tương lai thậm chí ngay cả khi tính chính xác của hệ thống mô phỏng không được khẳng định.
Hình 3-1 Mô hình hóa bộ lọc Kalman
Từ một tín hiệu cần đo, khi chúng ta đo, sẽ có những sai số từ cảm biến, ảnh hưởng đến tín hiệu cần đo, môi trường đo có nhiễu… Tất cả những thứ này, tổng hợp lại, sẽ cho ta một kết quả đo.
Một trong những kiến thức nền tảng để có thể hiểu về nguyên lý của bộ lọc Kalman chính là xác suất.
Hình trên mô hình hóa hoạt động của bộ lọc Kalman. Chúng ta có tín hiệu đo được, chúng ta có mô hình của tín hiệu đo được (đòi hỏi tuyến tính) và sau đó là áp dụng vào trong hệ thống phương trình của bộ lọc để ước lượng trạng thái quan tâm. Thực ra tín hiệu đo là không khó, phương trình đã có sẵn, cái chúng ta cần chính là mô hình hóa hệ thống. Để có thể ứng dụng một cách hiểu quả bộ lọc Kalman thì chúng ta phải mô hình hóa được một cách tuyến tính sự thay đổi của trạng thái cần ước lượng.
Bộ lọc Kalman gắn liền với hệ động học tuyến tính, cung cấp một thuật toán truy hồi cho bài toán lọc tối ưu tuyến tính. Trong đó, mỗi trạng thái đánh giá được cập nhật được tính từ đánh giá trước đó và dữ liệu quan sát mới. Như vậy chỉ có trạng thái tại bước thời gian trước bước hiện tại được lưu trữ. Thêm nữa, bằng việc loại trừ sự việc lưu trữ nhiều dữ liệu quan sát quá khứ mà bộ lọc Kalman tính toán đơn giản hơn việc trực tiếp từ tập dữ liệu quan sát quá khứ tại mỗi bước của quá trình lọc.
Hình 3-2 Sơ đồ khối
Phương trình tuyến tính quá trình:
Trong đó F(k, k-1) là ma trận biến đổi trạng thái x(k-1) từ thời điểm k-1 sang thời điểm k. Nhiễu quá trính w(k) được giả thiết là nhiễu trắng Gauss cộng tính với kỳ vọng bằng không và ma trận tương quan được xác định bởi:
Phương trình phép đo:
Trong đó, y(k) là phép đo được tại thời điểm k và H(k) là ma trận đo, nhiễu v(k) được giả định là nhiễu trắng Gauss tính với kỳ vọng bằng không và ma trận tương quan
Bài toán lọc Kalman là bài toán mà trong đó các phương trình phép đo và phương trình tuyến tính trạng thái được giải chung để tìm các trạng thái chưa biết dưới dạng tối ưu. Bài toán có thể phát biểu như sau:
Sử dụng các dữ liệu quan sát chứa trong vector y(1), y(2),…,y(k), để với mối k ≥ 1 tìm đánh giá trạng thái x(i) với sai số bình phương trung bình cực tiểu.