Không gian tìm kiếm của các bảng quan sát đƣợc sử dụng trong giải thuật trên chứa hoàn toàn các bảng quan sát đƣợc tạo ra để tạo giả định ứng cử viên cho luật ghép nối. Không gian tìm kiếm này đƣợc mô tả nhƣ là một cây tìm kiếm trong đó gốc của cây chính là bảng quan sát ban đầu OT0. Để thuận lợi chúng ta có thể định nghĩa kích thƣớc của một bảng quan sát OT = (S, E, T) nhƣ là |S|, đƣợc ký hiệu là |OT|. Chúng ta sử dụng Aij để ký hiệu cho giả định thứ j đƣợc tạo ra từ bảng quan sát thứ j (ký hiệu OTj) tại chiều sâu thứ I của cây tìm kiếm. Từ cách xây dựng cây tìm kiếm nhƣ trên hình 3.4 chúng ta có một định lý nhƣ sau:
Định lý 1. Giả sử Aij và Akl là hai giả định ứng cử viên tƣơng ứng đƣợc tạo ra tại chiều sâu thứ i và k. Khi đó ta có thể khẳng định |Aij| < |Akl| thì i < k.
Chứng minh: Bảng quan sát tại chiều sâu thứ i + 1 đƣợc tạo ra từ bảng quan sát tại chiều sâu thứ i theo một số trƣờng hợp sau:
Trong các bảng quan sát OTij tại mức i có ít nhất một bảng quan sát chứa giá trị “?”. Trong trƣờng hợp này, bảng thay thế cho bảng này sau khi thay giá trị “?” bởi true hoặc false là các bảng quan sát ở mức i+1. Những bảng quan sát đó có cùng kích thƣớc với bảng OTij.
Có ít nhất một bảng OTij trong các bảng tại mức i không phải là bảng đóng. Một bảng cập nhật OT(i+1)k tại chiều sâu thứ i+1 thu đƣợc từ bảng OTij bằng cách thêm một phần tử và tập Sij. Điều này có nghĩa là |OTij| < |OT(i+1)k|.
Cuối cùng, có ít nhất một bảng OTij trong các bảng quan sát tại mức i không cho ta một giả định thực sự. Trong trƣờng hợp này, một bảng cập nhật OT(i+1)k tại mức i+1 sẽ thu đƣợc từ bảng này bằng cách thêm một hâu tố e của phản ví dụ cex vào trong tập Eij. Điều này có nghĩa là |OTij| = |OT(i+1)k|.
Từ những điều trên ta có thể khẳng định đƣợc rằng, giả định Aij đƣợc tạo ra tại chiều sâu i có kích thƣớc nhỏ hơn kích thƣớc của giả định Akl đƣợc tạo ra tại chiều sâu k thì khi đó i < k.