/ : Rút tiền từtìịịứn hàng
Dáy lả cViểìn đặc biệt của mô hình thanh toán, khi khách hùn gc muốn thanh toán ntìiéii CÌỒMỊ tiền troiìíỊ CÙIIÍỊ một phiên thanh toán ,anh ta không cần thiết phủi thực
3.6. 2: Vấn để tiêu tiền hai lần (Double spending)
Nếu c liêu bất cứ một đồng tiền nào đó,giả sử Cj, trong 2 phiên thanh toán khác nhau .Thì có các khẳng định sau đây :
Khẳng (lịnh 1 : Nếu đồng Cị được tiêu trong phiên thanh toán T , thì đồng Cị.| cũng dược lieu trong phiên thanh toán T .
ChứiiiỊ minh ;Điồu khẳng định là đương nhiên đúng.Vì trong mô hình trên được xây dựng bát kỳ một đổng tiền thuờng nào (nomal coin) được tiêu thì ít nhất phải có 1 dồng tien ngay trước nó cùng phiên thanh toán. Vì phải có đồng tiền xác nhân ở đầu mồi phiên thanh toán.
Khảng (lịnh 2 : Cj dược coi là đồng tiền bị tiêu 2 lần đầu tiên nếu Cj là đồng tiền có chi số i nhỏ nhất được tiêu lần thứ 2 .
Kỉuhịi clịi ì/ì 3 : Nếu trong 2 phiên thanh toán T I và T2 có Cj là đổng tiền tiêu hai lần dầu liên,thì c , phải được tiêu như là đổng tiền xác nhận (đầu tiên) ở ít nhất một trong hai phiên thanh toán .
Clìứnii minh : Bằng phan chứng,ta chứng minh là nếu c , được tiêu như dồng tiền thường ớ cá hai phicn thanh toán TI và T2 , thì theo khẳng định 1, thì Cj.| phải được liêu trong cà hai phiên thanh toán T I và T2.D o đó, Cj không được coi là dồng lien bị tiêu hai lẩn đầu liên, vì i không phải chỉ số bé n h ấ t .
Như vậy, Cj không thể dược tiêu như đồng tiền thường ở cả hai phiên .
Giá sir c tiêu hai lần Cj là đồng tiền đầu tiên trong hai phiên khác nhau,lhì chỉ có 2 khá năng xảy ra : Cị được ticu như đồng tiền xác nhận (đầu tiên) trong ca hai phiên thanh toán hoặc Cj được tiêu như đổng tiền xác nhận trong một phiên thanh toán và Iilur đồng tien thường trong phiên kia .
Ta xét lần Iirợt hai trường hợp :
• first coin - first coin : Nếu Cj được tiêu hai lần như là đồng tiền xác nhận,thì ngân hàng dẽ dàng phát hiện trong dữ liệu của mình hai cặp [a,b,Cj| và ịa \ b ’,Cj] , với liai giá trị a * a ’ • Ngân hàng dễ dàng tìm được :
n - b“ b' ^
u = --- mod q a’- a
• first coin - nomal coin : Cj được tiêu như đồng tiền xác nhận trong một phiên thanh toán và như đồng liền thường trong phiên kia .TO ngân hàng sẽ có trong dữ liệu hai bộ |a,b,Cị| và |Cị,Xị] . Với b = Xị - Ua (mod q) ,ngân hàng sẽ tính dược u = (X| - b)/a (mod q)
Cả hai trường hợp,ngân hàng đểu tính dược u ,là khoá bí mật của c . Từ u ,ngân hàng có thể tìm bỏ phần 80 bít sau và xác định được I (là số nhận dạng của c ( Id entify)),lức là phát hiện được c tiêu hai lần cùng một đồng tiền.