Thuật toỏn bỡnh phương trung bỡnh tối thiểu (LMS) là kỹ thuật phổ biến nhất được sử dụng cho tương thớch liờn tục, cú mục tiờu là tối thiểu hoỏ bỡnh phương trung bỡnh sai số. Nú dựa trờn phương phỏp giảm dần từng bậc, một kỹ thuật tối ưu hoỏ nổi tiếng để tớnh toỏn và cập nhật vectơ trọng số đệ quy. Thuật toỏn cập nhật cỏc trọng số tại mỗi lần lặp bằng cỏch ước lượng gradient của bề mặt lỗi toàn phương và sau đú thay đổi cỏc trọng số trong hướng ngược với hướng gradient số lượng nhỏ nhằm tối thiểu hoỏ lỗi bỡnh phương trung bỡnh (MSE), như thấy λ hỡnh 2.11. Đỏp ứng mong muốn hỗ trợ thuật toỏn trong ước tớnh lỗi và tớnh toỏn bề mặt lỗi. Hằng số xỏc định mức cỏc trọng số được điều chỉnh trong mỗi lần lặp được gọi là kớch thước bậc. Khi kớch thước bậc nhỏ đỏng kể thỡ quỏ trỡnh xử lý sẽ quy cỏc trọng số được ước lượng này thành cỏc trọng số gần tối ưu. Cỏc kớch thước bậc lớn cho phộp hội tụ nhanh hơn, nhưng MSE lại lớn hơn do cỏc trọng số khụng tối ưu.
Cỏc giỏ trị được cập nhật của vectơ trọng số tại thời điểm n + 1 được tớnh toỏn: )) ( ( 2 1 ) ( ) 1 (n+ =ω n − à∇ J n ω , (2.29)
Trong đú (ω n+1)xỏc định trọng số mới được tớnh toỏn tại lần lặp thứ n+1, à là kớch thước bậc dương điều khiển tốc độ hội tụ và do đú xỏc định cỏch nhanh nhất để cỏc
trọng số ước lượng đạt đến tối ưu và ( ( ))∇ J n là một ước lượng gradient của MSE J(n), trong đú J(n) được cho b λi:
2
( ) [ ( 1) ] H( ) ( ) 2 H( )
J n =E r n+ +ω n R nω − ω n z, (2.30)
Với r(n+1) là tớn hiệu tham chiếu tại thời điển n+1 và z E x t r t= ( ) ( )* là vectơ
tương quan chộo giữa vectơ đầu vào ( )x n và đỏp ứng mong muốn r(n), R là ma trận tương quan được định nghĩa trong phương trỡnh 1.10 và 1.11.
Các trọng số ban đầu
Các trọng số tối ưu
Hỡnh2.11:Vớ dụ về bề mặt lỗi toàn phương và cỏc trọng số của hệ thống hai phần tử theo hướng õm của gradient để tối thiểu hoỏ lỗi bỡnh phương trung bỡnh
Lấy vi phõn phương trỡnh 2.30 với ω(n)cú : ( ( )) 2J n R nω( ) 2z
∇ = − (2.31)
Do đú, ước tớnh tức thời của vectơ gradient tr λ thành: ( ( )) 2J n R nω( ) 2z
∧
∇ = − (2.32)
=2 ( ) ( )x n ε* n ,
Trogn đú ε*(ω(n))là lỗi giữa đầu ra dàn và tớn hiệu tha m chiếu, được tớnh toỏn như sau:
*( ) H( ) ( ) ( )
n x n n r n
Đầu ra dàn λ hỡnh 3.17 được cho b λi: ( ) H( ) ( )
y n =ω n x n (2.34)
Dựa trờn việc thay thế phương trỡnh 2.33 vào trong phương trỡnh 2.29 phương trỡnh tương thớch trọng số dàn tr λ thành:
*
(n 1) ( )n x n( ) ( )n
ω + =ω +à ε . (2.35)
Do đú như trong phương trỡnh 2.33, gradient ước lượng, ( ( ))∇∧ J n , là hàm lỗi, ( )ε n , giữa đầu ra dàn, y(n), và tớn hiệu tham chiếu, r(n), và tớn hiệu dàn nhận được, ( )x n , sau lần lặp thứ n. Sự hội tụ được đảm bảo chỉ khi:
max
1
0 à
λ
< < , (2.36)
Trong đú λmaxlà giỏ trị riờng lớn nhất của ma trận tương quan R trong phương trỡnh
1.10 và 1.11. Do đú, dải giỏ trị riờng hay tỉ số của ma trận R điều khiển tốc độ hội tụ theo : max min ( )R λ χ λ = , (2.37) Với ( ) 1χ R ≥ .
Trong những điều kiện này, thuật toỏn cố định và giỏ trị trung bỡnh của cỏc trọng số dàn được ước lượng hội tụ đến trọng số tối ưu. Tốc độ tương thớch cũng như tạp õm gõy nhiễu vectơ trọng số đều được xỏc định b λi kớch thước của à. Do vết của R được
tớnh bằng tổng của cỏc thành phần chộo trong R, nờn λmaxkhụng thể lớn hơn vết của R,
nghĩa là: max 1 [ ] L i i tr R λ λ = ≤ =∑ (2.38)
Với L là số phần tử ănten, và λi là giỏ trị riờng thứ i của R. Vỡ vậy ta cú:
] [ 1 0 R tr < <à (2.39)
Đõy là giới hạn chặt hơn của à so với phương trỡnh 2.36, nhưng lại dễ ỏp dụng hơn rất nhiều, vỡ cỏc phần tử của R và cụng suất tớn hiệu cú thể được ước lượng dễ dàng hơn cỏc giỏ trị riờng của R. Hiệu suất của thuật toỏn LSM đưa ra một giới hạn về mặt nguyờn lý cho cỏc thuật toỏn tương thớch, khi cỏc giỏ trị riờng của R bằng nhau hoặc gần
bằng nhau. Khi giỏ trị riờng của ma trận tương quan R phõn tỏn rộng rói, tức là max min ( )R λ 1 χ λ
= >> , thỡ lỗi bỡnh phương trung bỡnh trong thuật toỏn LMS vượt quỏ giỏ trị
nhỏ nhất được xỏc định chủ yếu b λi cỏc giỏ trị riờng lớn nhất, và thời gian vectơ trọng số trung bỡnh hội tụ được giới hạn b λi cỏc giỏ trị riờng nhỏ nhất. Tuy nhiờn, khi sự phõn tỏn của cỏc giỏ trị riờng tăng, giỏ trị kớch thước bậc à lớn nhất để duy trỡ tớnh ổn định giảm sẽ làm cỏc trọng số tối ưu hội tụ chậm hơn. Khi lựa chọn giỏ trị à quỏ nhỏ làm tốc độ hội tụ chậm, và trong mụi trường khụng tĩnh cú thể làm cỏc trọng số ước tớnh chậm hơn so với cỏc trọng số tối ưu, hiện tượng này được gọi là trễ vectơ trọng số. Khi à cú giỏ trị quỏ cao, hội tụ sẽ nhanh hơn, nhưng khi đú cỏc trọng số sẽ quay xung quanh một vựng lớn hơn và gõy ra lỗi mất điều chỉnh cỏc trọng số, như trong hỡnh 2.11. Điều này là do à tương quan với sự thuận nghịch bộ nhớ của hệ thống, trong đú à lớn sử dụng ớt mẫu hơn để ước lượng R , nờn một ước lượng giảm cấp được thực hiện, dẫn đến việc tăng lỗi bỡnh phương trung bỡnh sau khi tương thớch.