1.1.1. Phép biến đổi affine
Phép biến đổi affine là phép biến đổi tuyến tính, khả nghịch. Phép biến đổi này bảo toàn tính song song của các đường thẳng cũng như bảo toàn tính tỉ lệ về khoảng cách của các đoạn thẳng. Tuy nhiên, phép biến đổi này không bảo toàn góc nghiêng và chiều dài các đoạn thẳng. Các phép biến đổi này cũng bảo toàn tỉ lệ về khoảng cách (xem thêm chương 3)
Hình 6.2 – Các hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải (a)
và quy ước bàn tay trái (b)
Hệ tọa độ Descartes ba chiều có thể định nghĩa theo quy ước bàn tay trái hoặc bàn tay phải (xem hình 6.2).
Định nghĩa
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều kiện: Nếu để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay lại, chiều các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều kiện: Nếu để bàn tay trái sao cho ngón cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay lại, chiều các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
Hệ tọa độ thuần nhất
Trong hệ tọa độ thuần nhất, mỗi điểm trong không gian Descartes được biểu diễn bởi một bộ bốn tọa độ trong không gian 4 chiều thu gọn . Để tiện lợi, người ta thường chọn h=1. Như vậy, một điểm (x, y, z) trong hệ tọa độ Descartes sẽ biến thành điểm (x, y, z, 1) trong hệ tọa độ thuần nhất; còn điểm (x, y, z, w) trong hệ tọa độ thuần nhất (với w ¹ 0) sẽ tương ứng với điểm (x/w, y/w, z/w) trong hệ tọa độ Descartes (xem hình 6.3).
Hình 6.3 – Các điểm trong hệ tọa độ thuần nhất và Descartes
Dạng ma trận của phép biến đổi affine trong hệ tọa độ thuần nhất
Hình 6.4 – Dạng tổng quát của phép biến đổi affine ba chiều
Phép biến đổi affine ba chiều biến điểm P thành điểm Q có dạng : , trong đó , và M là ma trận biến đổi 4x4 trong hệ tọa độ thuần nhất là vector tịnh tiến. Một số tính chất của các phép biến đổi ba chiều :
• Tính chất đường thẳng được bảo toàn. Nghĩa là, một đường thẳng trong không gian ba chiều khi biến đổi sẽ thành một đường thẳng.
• Tính song song được bảo toàn. Nghĩa là, hai đường thẳng song song khi biến đổi cũng sẽ thành hai đường thẳng song song.
• Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo toàn. Nghĩa là, ảnh của một điểm P chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ f, sẽ chia đoạn thẳng A’B’ theo tỉ lệ f, với A’B’ là ảnh của đoạn thẳng AB.