Định lý 1: Một kênh r không được thu nhận bởi hai tế bào đang cùng
nằm trong khoảng cách tái sử dụng ngắn nhất.
Chứng minh: (phương pháp mâu thuẫn)
Thừa nhận rằng kênh r được thu nhận bởi 2 tế bào i và i, tức là i Є INj. Do i Є INj, tức là có ít nhất 1 trong 2 tế bào, giả sử là i, là tế bào thứ yếu của r, tức là r Є Spectrum - PRi. Hơn nữa, tế bào i có thể thu nhận kênh r thông qua việc sử dụng lược đồ tìm kiếm hoặc cập nhật. Nhận thấy rằng tế bào i đã yêu cầu 1 kênh với tem thời gian nhỏ hơn là tế bào j. Do đó, ta có 2 tình huống sau:
1, Tế bào i thu nhận r theo phương thức tìm mượn:
a, Nếu tế bào j đang ở phương thức tìm mượn thì yêu cầu của nó bị hoãn lại bởi tế bào i cho đến khi nó hoàn thành việc phân phối kênh. Bất kỳ kênh nào được thu nhận bởi tế bào i, giải sử kênh r, sẽ nằm trong tập Usei là tập mà tế bào i gửi tới tế bào j sau khi nó hoàn tất việc tìm kiếm. Do đó, tế bào j sẽ không nhận được bất kỳ kênh r nào mà tế bào i đã thu nhận.
b, Nếu tế bào j đang ở phương thức cập nhật mượn và nó đang có yêu cầu đối với kênh r, tế bào i sẽ trì hoãn thông điệp của tế bào j lại cho đến khi nó thu nhận được kênh r và sau đó gửi tập kênh mà tế bào i đang sử dụng tới tế bào j. Do vậy, tế bào j cũng sẽ không thể thu nhận được kênh r.
c, Nếu tế bào j đang ở phương thức địa phương thì:
i, Nếu yêu cầu của tế bào i đã kết thúc trước khi yêu cầu của tế bào j được gửi đến, tế bào j sẽ đợi thông điệp ACQUISITION(1,r,i) từ tế bào i. Vì vậy, tế bào j sẽ không thể nhận được kênh r.
ii, Nếu yêu cầu của tế bào i đến sau khi tế bào j đã thu nhận xong kênh r, sau đó tế bào j gửi cho tế bào i tập kênh đang sử dụng và tế bào i không thể thu nhận kênh r.
iii, Nếu thông điệp yêu cầu kênh của tế bào j đến trong khoảng thời gian sau khi tế bào này đã gửi thông điệp phản hồi cho yêu cầu tìm kiếm của tế bào i và trước khi nhận được thông điệp ACQUISSITION từ i, tế bào j sẽ đợi cho đến khi nhận được thông điệp ACQUISITION và điều
này đảm bảo rằng tế bào j không thu nhận được nếu tế bào i đã nhận được kênh r rồi.
2, Tế bào i thu nhận kênh r theo phương thức cập nhật mượn
a, Yêu cầu của tế bào i có tem thời gian nhỏ hơn so với tem thời gian của tế bào j: Nếu tế bào j đang ở phương thức tìm mượn thì yêu cầu của nó bị hoãn lại cho đến khi tế bào i hoàn tất thủ tục phân phối kênh. Nếu tế bào i thu nhận kênh r, nó gửi tập kênh đang sử dụng tới tế bào j, vì vậy tế bào sẽ không thể thu nhận được kênh r.
b, Nếu tế bào j đã ở phương thức cập nhật mượn và yêu cầu cùng kênh r, tế bào i sẽ gửi đến tế bào j thông điệp RESPONSE từ chối và tế bào i sẽ không thể thu nhận được kênh r.
c, Nếu tế bào j ở phương thức địa phương và kênh r nằm trong tập kênh giao thoa Ij và phản hồi thông điệp RESPONSE đồng ý. Do đó, tế bào j không thể thu nhận được kênh r cho đến khi tế bào i gửi thông điệp RELEASE(i,r) tới tế bào j.
Định lý 2: Thuật toán này có thể thực hiện được (The algorithm is
deadlock free)
Chứng minh:
Ta thấy rằng thuật toán không có thời gian chờ quay vòng thông qua việc sử dụng tem thời gian. Nếu tất cả các tế bào nằm trong vùng giao thoa đang ở phương thức địa phương thì các yêu cầu có thể được thực hiện song song và không có trở ngại nào. Nếu 1 tế bào ở phương thức cập nhật yêu cầu 1 kênh thì yêu cầu của tế bào này có thể bị hoãn lại bởi 1 tế bào khác đang ở phương thức tìm mượn nếu như yêu cầu của nó có tem thời gian thấp hơn. Trong trường hợp này, việc tìm kiếm kênh không thể bị khoá bởi tế bào đang thực hiện việc cập nhật vì nó có tem thời gian cao hơn so với thông điệp tìm kiếm. Do đó, việc tìm kiếm vẫn tiếp diễn và không có trở ngại nào.
Yêu cầu tìm kiếm của tế bào i có thể bị hoãn lại bởi tế bào j là tế bào đang thực hiện tìm kiếm hoặc cập nhật với tem thời gian thấp hơn, hoặc bị hoãn lại bởi tế bào l nào đó mà tế bào này đang ở phương thức địa phương và nó có 1 yêu cầu nội vùng đang chờ với tem thời gian thấp hơn, tức là tsi > tsl. Điều này xảy ra nếu tế bào l đã gửi tập kênh tới 1 tế bào p đang ở phương
thức tìm kiếm mà tế bào này đang cố gắng thu nhận 1 kênh và không nhận được thông điệp ACQUISITION. Vì vậy, yêu cầu của tế bào l được sinh ra sau khi gửi phản hồi tới tế bào p, nghĩa là tsl > tsp. Do đó tsi > tsl > tsp, tức là không thể có sự chờ đợi vòng tròn. Trong tất cả các trường hợp khác cũng không có thông điệp bị hoãn lại, vì vậy thuật toán là hoàn toàn có thể thực hiện được.