a. Chia hết cho 2 và 5:
* Nhận xột: Số dư của phộp chia một số nguyờn cho 2 và 5 bằng số dư của phộp chia chữ số cuối cựng bờn phải số đú cho 2 và 5.
Ví dụ: abc = 100a + 10b + c = BS5 + BS5 + c abc = 100a + 10b + c = BS2 + BS2 + c
Nh vậy abc và c chia cho 2 hoặc chia co 5 có cùng số d Vậy: Muốn abc chia hết cho 2 và 5 thì c chia hết cho 2 và 5 * Ta cú điều kiện:
- Một số chia hết cho 2 hoặc 5 khi chữ số tận cựng chia hết cho2 hoặc 5. - Một số chia hết cho 4 và 25 khi số hợp bởi hai chữ số tận cựng bờn phải của số đú chia hết cho 4 và 25.
- Một số chia hết cho 8 và 125 khi số hợp bởi ba chữ số tận cựng bờn phải của số đú chia hết cho 8 và 125.
- Một số vừa chia hết cho 2 và 5 thỡ chia hết cho 10. - Một số vừa chia hết cho 4 và 25 thỡ chia hết cho 100 - Một số vừa chia hết cho 8 và 125 thỡ chia hết cho 1000.
b. Chia hết cho 3 và 9:
*. Nhận xột:
Số dư của phộp chia một số nguyờn cho 3 và 9 bằng số dư của phộp chia tổng cỏc chữ số của số đú cho 3 và 9.
Thật vậy: 10 = 9 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1 100 = 99 = 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1 10n = 99....9 + 1 = Bs9 + 1 = Bs3 + 1 Vỡ vậy một số abcd= 1000a + 100b + 10c + d =
= a(Bs9 + 1) + b(Bs9 + 1) + c(Bs9 + 1) + d = aBs9 + a + bBs9 + b + cBs9 + c + d
= Bs9(a = b = c) + a = b = c = d = Bs9 + (a + b + c + d). * Điều kiện:
Một số nguyờn chia hết cho 3 và 9 khi tổng cỏc chữ số của nú chia hết cho 3 và 9.
* Lưu ý:
- Một số chia hết cho 3 và 9 thỡ chia hết cho 18
- Một số chia hết cho 2 và 3 thỡ chia hết cho 6, chia hết cho 2 và 9 thỡ chia hết cho 18.
- Một số chia hết cho 3 và 5 thỡ chia hết cho 15, chia hết cho 5 và 9 thỡ chia hết cho 45.
c. Chia hết cho 11:
Trong một số nguyờn N nếu gọi L là tổng cỏc chữ số hàng lẻ (Kể từ phải sang trỏi) và C là tổng cỏc chữ số hàng chẵn (Kể từ phải qua trỏi), thỡ số dư của phộp chia N co 11 bằng số dư của hiệu (L – C) hay (C – L) ch 11.
Thật vậy: 102 = 99 + 1 = Bs11 + 1 104 = 999 + 1 = Bs11 + 1 102n = Bs11 + 1 Mặt khỏc: 102n+1 = 102n.10 = Bs11 – 1 Vỡ vậy nếu ta cú số : 5 4 3 2 abcdef = a.10 +b.10 + c.10 + d.10 +e.10 + f
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 f + d + b Bs11+ a + c + e = Bs11 + f + d + b a + c + e = a(Bs11 -1) + b(Bs11 + 1) + c(Bs11 - 1) + d(Bs11 + 1) + e(Bs11 - 1) + f = ộởBs + ự ộỷ ở- ựỷ ộ - ự ở ỷ * Điều kiện:
Một số nguyờn chia hết cho 11 khi hiệu của tổng cỏc chữ số hàng lẻ với tổng cỏc chữ số hàng chẵn chia hết cho 11.
Lưu ý :
- Một số nguyờn chia hết cho 2 và 11 thỡ chia hết cho 22 - Một số nguyờn chia hết cho 3 và 11 thỡ chia hết cho 33 - Một số nguyờn chia hết cho 5 và 11 thỡ chia hết cho 55 - Một số nguyờn chia hết cho 9 và 11 thỡ chia hết cho 99
………
Bài tập ỏp dụng:
1. Chứng minh rằng (a3 – a) chia hết cho 3 Giải:
Ta thấy a3 – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1).
Đõy là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp do đú cú ớt nhất là một thừa số là bội của 3. Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho 3.
2. Chứng minh rằng (2n + 1)2 – 1 chia hết cho 8. Giải:
Ta cú (2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 – 1 = 4n2 + 4n = 4n(n + 1).
Đõy là một tớch của 3 thừa số trong đú cú thừa số 4 và 2 thừa số cũn lại là hai số nguyờn liờn tiếp, cho nờn tớch trờn vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 4.
Do đú (2n + 1)2 – 1 chia hết cho 8. ……….
3. Cho số 3 2x chia hết cho 3. Hóy tỡm số ấy ? Giải:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3x2 3 3 + x + 2 3 5 + x 3. Mà x 0 và x 9 nên ta sẽ có: x = 1 5 + 1 = 6 3 5 + x 3 x = 4 5 + 4 = 9 3 x = 7 5 + 7 = 12 3 ậy các số cần tìm là: 312; 342; 372 V Û Û ³ Ê ỡù ị ùù ùù Û ớù ị ùù ị ùùợ M M M M M M M