Với một công thức (ị), tính thỏa được (satisfaction) và tính xác đáng (validity) là quan trọna. Tính thỏa được hay đúng đắn của cône thức phải gắn với một mô hình nào đó còn tính xác đáng phải gắn với một khung (frame) nào đó. Sau đây chúng ta sỗ định nghĩa mô hình và frame.
Định nghĩa: (Khung làm việc (Frame) Ị9j)
Một frame của ngôn ngữ modal cơ bàn là một cập F = (W, R) thỏa mãn : + IV là một tập khác rong
+ R là một quan hệ nhị phân trên w
Nghĩa là, frame đơn giản là một cấu trúc quan hệ bao gồm một miền giá trị khác rồng và một quan hệ nhị phân.
Định nghĩa: (Mô hình (Model) [9])
Một mô hình (model) của ngôn ngữ modal cơ bản là một cặp M=(F, V), Trong đó, F ỉà một frame, V ìà một hàm gán moi ký hiệu v/ từ p trong tập công thức 0 một tập con V(p) Œ w. V(p) là tập các điểm trong mô hình mà p là đúng (true). Hàm V được gọi là hàm licợng giá (valuation). Khi đỏ, chúng ta nói mô hình m dựa trên frame F.
Như vậy, cả frame F và mô hình m dựa trên nó đơn giản là các mô hình quan hệ dựa trên cùng một miền giá trị (vũ trụ), mô hình chính là frame được bổ sung thêm một tập các quan hệ không có ngôi.
Tuy nhiên, frame & mô hình cũng cỏ những điểm khác nhau. Đó là, frame có tính khái quát hơn, mô hinh nhấn mạnh đến các thông tin cụ thể hơn bởi hàm lượng giá V.
Trong lập trình logic, ta quan tâm đến một lớp các frame và lớp các mô hình nhỏ hơn là Kripke frame và mô hình Kripke
Định nghĩa: (Kripke frame [4])
M ột K rip ke fr a m e là m ột b ộ b a (W, T, R). Trong đ ó :
+ w là một tập khác rong các phần tử.
+ r là một phần tử, r e w.
+ R là một quan hệ nhị phân trên w, được gọi là quan hệ cỏ thể truy cập được (accessibility relation).
Nếu R(w, u) đúng thì ta nói phần từ u có thể truy cập được từ w hay u có thể đạt được từ vv.
Định nghĩa: Kripke model [4] (Mô hình Kripke với miền giá trị và các hạng thức cố định)
Mô hình Kripke là một bộ M = (D, w, r, R, m). Trong đó: + D là một tập được gọi là miền.
+ (W, T, R) là K rỉp ke fra m e.
+ m là một thê hiện cùa các kỷ hiệu hang, ký hiệu hàm, ký hiệu vị từ.
Với một ký hiệu hàng a, m(a) là một phần từ thuộc D, ký hiệu là aM .
Với một ký hiệu hàm n ngôi f, m(f) là một ánh xạ m(f): Dn -» D, ký hiệu f^. Với vị từ n ngôi p và một phần từ vv e w, m(w)(p) là một quan hệ n ngôi trên w, ký hiệu là pM'".
Định nghĩa: (Phép gán biến [4])
Gọi M là một mô hình Kripke. Phép gán biến đoi với M (ký) hiệu w.r.t M) là một hàm ánh xạ mỗi biến vào một phần tử của miền D của mô hình M. Giả trị của hạng thức t trong phép gán bien V được ký hiệu là V(t) và được định nghĩa như sau:
+ Nếu t là một ký hiệu hằng a thì Vịt) = as'
+ Neu t ỉà một biến X thì V(ỉ) - V(x)
+ Nếu t là một hàm f(ih .... t j thì Vịt) =f'(V(ti), V(tJ).
Sau đây là các định nghĩa về tính thỏa được và tính xác đáng của một công thức tronẹ mô hình Kripke
Định nghĩa: (Tính thỏa được (satisfaction) của công thức [4])
Cho một mô hình Kripke M = (D, w, T, R, m), một phép gán biến V và một
phần từ vv e w. Khỉ đó, một công thức ộ là thỏa được trong mô hình M tại w với phép gán biến V (k)> hiệu M, V, w Ị= ệ) được định nghĩa như sau:
1. M, V, w I-p(ti, Ụ nếu và chi nếu phl w(V(tị), V(Ụ)
2. M, V, w ụ -lệ nếu và chỉ nếu M, V, w
3. M, V, vv ụ ệ A ự) nếu và chi nếu M, V, H ’ ụ ệ và M, V, w (p 4. M, V, w ệ V (Ọ nếu và chi nếu M, V, w ụ ệ hoặc M, V, w Ị= (p
7. M, V, w 1= Oệ nếu và chi nếu tồn tại V 6 w sao cho R(w, v) thì M, V, V Ị= ệ
8. M, V, vv ụ Vxệ nếu và chi nếu với mọi a € D sao cho M, V, vv y (Ị>. Ở đây,
V’(x) = a và V’(y) = V(y) với X # v
9. M, V, w 1= 3xệ nếu và chi nếu iồn tại a e D sao cho M, V, w ^ ệ. Ở đây,
V'(x) = a và V'(y) = V(y) với X *y.
Nếu M, V, \v ^ ệ thì ta nói ệ đúng tại w trong w với phép gán biến V. Chúne ta viết M, \v Ị= <Ị) thay vì viết M. V, w \ (Ị) với mọi phép gán biến V. Chúng ta nói M thòa mãn (Ị) (hay <Ị> đúng trong M) và viết M [= <Ị> nếu M, T Ị= ộ. Với tập T các công thức, chúng ta gọi M là mô hình của T và viết M ụ T nếu M ụ (ị) với Vệe T.
Một hệ logic có thể định nghĩa là một tập các công thức được thiết lập đúng đan (well formed fomulae - vvwf), một lớp các thể hiện có thể chấp nhận và một quan hệ thỏa được. Trong đó, lớp các thể hiện có thể chấp nhận được của một hệ logic modal L thông thường là các Kripke frame (được chấp nhận cho L) hạn định một sổ điều kiện trên đó.
Nếu chúng ta định nghĩa một lớp các thể hiện chấp nhận được là lớp tất cả các mô hình Kripke (khône hạn định các điều kiện trên các quan hệ có thể truy cập dược) thì chúng ta sẽ có được logic modal cấp một miền cố định với các hạng thức cố định gọi là hệ logic K. Hệ logic này được tiên đề hỏa bởi các luật sau:
Tấí cả các tiên đề trong logic vị từ
Tiên đề K: ũ(ệ-xp) -» (oộ—>aq>)
Tiên đề Barcan: Vxoệ -> ũVx(ị) Tiên đề định nghĩa 0: 0ộ -» —lộ
(Ị), è —>(p
Luât Modus Ponens: — --- * <p
Luật sinh: Vx ộ
ộ Luật sinh modal: EkỊ)
Các tiên đề trong hệ K là đúng đắn và đầy đù với mọi hệ logic modal.
Tiên đề ngược của tiên đề Barcan là ũVxệ -» VxD<ị> là hệ quả của các tiên đề trên. Tiên đề này cũng là đúng đắn & đầy đủ.
Các tiên đề K, Modus ponens, luật sinh modal là các luật cơ bản nhất trong chứng minh logic. Trong đó, tiên đề K là quan trọng nhất.
Mọi hệ logic mà các tiên đề của nó được mờ rộng từ tiên đề K được gọi là logic modal thông thường (normal modal logic).
Một số tiên đề như D, T, B, 4, 5 tương ứng với các điều kiện xác định trên các quan hệ có thể truy cập được được trình bày trons bảng sau:
Tiên đề Luật Điều kiện trẽn R
D nệ 0<Ị> Vw3u R(w,u)
T dộ -> ộ V w R(w,w)
B ộ -» DỘ(ị) V w , u R(w, u) -> R(u, w )
4 oộ -> □□({> Vvv, u, V R(w, u) A R(u, v)-> R(w, v) 5 0(ị> -> o0<ị> Vw, u, V R(w, u) A R(w, v)-> R{u, v)
Đe chứng minh tính thỏa được của các công thức chúng ta phải dựa vào các tiên đề trong các hệ logic (ví dụ: các tiên đề trona hệ logic K). Hệ logic K là nhò nhất (bao gồm ít nhất các tiên đề) và cơ bàn nhất (eồm các tiên đề cơ sở) trong việc áp dụng để chứng minh các công thức. Tuy nhiên, với một số trường hợp thì hệ K không đủ mạnh để áp dụng và người ta mờ rộng hệ K thành các hệ logic mới bằng cách thêm vào hệ K một sổ tiên đề (trong bảng trên). Các hệ mới này cũng đã được chứng minh là đủng đắn & đầy đù.
Bảng; sau đây liệt kê một số hệ logic được mở rộng từ hệ logic K:
Hệ logic Tiên đô được thêm vào trong K
K KD D T T KB B KDB DB B TB K4 4 KD4 D4 S4 T4 K5 5 KD5 D5 K45 45 KD45 D45 KB5 B5 S5 T5
Các hệ logic modal khác K sẽ phải cỏ những hạn định nhất định trên R. Sau đây là quy ước một số ký hiệu dùna trong MProlog
+ T: ký hiệu hàng giá trị đúng (true). + D, E, F: các nguyên tố cổ điển hoặc T.
+ X, Y: biến của các nguyên tố cổ điển hoặc T, gọi tắt là biến nguyên tổ. + <E>: 0 được gán nhãn E.
+ < x > : 0 được gán nhãn X.
+ V : ộ, <E> hoặc < x > được gọi là toán tử modal + A: dãy các toán từ modal
+ A, B: các công thức có dạng E hoặc VE, được gọi là các nguyên tố đơn. + a, P: công thức có dạng AE, được sọi là các nguyên tổ.
+ <Ị>, \ụ: công thức (có thể chứa <E> hoặc <x>).
Bộ sinh mô hình (Model generator)
Bộ sinh mô hình - đó là một tập các thể hiện của mô hình Kripke.
Gọi L là một trong những hệ logic modal: KD, T, KDB, B, KD4, S4, KD5, KD45, S5. Với mọi bộ sinh mô hình I, luôn tồn tại một mô hình được gọi là mô hình L chuẩn (standard L model) cùa I và đỏ chính là mô hình nhỏ nhất của I [4].
Định nghĩa: (Bộ sinh mô hình [4])
Một bộ sinh mô hình là một tập các nguyên tố nền không chứa kỷ hiệu toán từ ộ, <T>, T.
Một bộ sinh mô hình I được gọi là bộ sinh mô hình thông thường (theo L) nếu:
+ L 0 ỊKD5, KD45, S5} hoặc
+ L - KD5 và Ị chỉ chứa các nguyên to có dạng E, VE, □ VE hoặc
+ L € {KD45, S5} và ỉ chỉ chừa các nguyên tố có dạng E, VE
Với mọi chương trình MProlog p và hệ logic modal L, luôn tồn tại bộ sinh mô hình nhỏ nhất cho p là IL p sao cho p Ị= IL p và mô hình chuẩn theo L của I|„ |> là mô hình nhỏ nhất theo L của p [4ị.
Với một bộ sinh mô hình thông thườn» (theo L) I, chúng ta có thể xây dựng dược mô hình nhỏ nhất (theo L) cho I dựa trên các mờ rộng theo L của I và mô hinh chuẩn theo L cùa i [4].
Neu trong lập trinh logic cổ điển, với một chương trình p luôn tồn tại mô hình Herbrand nhỏ nhất của p thì trone lập trình loeic modal cũng tương tự, luôn tồn tại một mô hình nhỏ nhất được sinh ra từ một bộ sinh mô hình.
Với một chương trình MProỉog P. hệ logic modal L, luôn tồn tại một mô hình nhỏ nhất cho p theo L, ký hiệu là ML, p.
Chi tiết đặc tà về mô hình nhỏ nhất của một chương trình MProỉog với hệ logic L được trình bày trong [4].
4.2.4. Điểm bất động
Tương tự như lập trình logic cổ điển, với một chương trình MProlog p, một hệ logic modal L luôn tồn tại một ánh xạ đơn điệu và liên tục liên kết với nó kv hiệu là T| p. Tl p: Tập các bộ sinh mô hình —» Tập các bộ sinh mô hình. [4]
Luôn tồn tại điểm bất dộng nhò nhất của T|„ p ký hiệu là II p [4]. Và I[ p đối với một chương trình MProlog cũng có vai trò quan trọng trong việc tìm lời giải cho bài toán “xác định tính không thỏa được của p u {G} theo L” (G là một đích M Prolog).
I|, p là hệ quả logic cùa p theo L, ký hiệu là p ụ L I|„ p. Chứng minh trong [4]. Và IL p cũng chính là M| p [4],
Với một chương trình MProlog p, một bộ sinh mô hình thông thường (theo L) I, chúng ta muốn áp dụng các câu trong p vào I để đạt được các bộ sinh mô hình khác và lặp lại quá trinh trên với bộ sinh mô hình mới cho đến khi đạt được điểm bất động - đó chính là bộ sinh mô hình nhỏ nhất.
Ví dụ:
Cho chương trình logic Mprlog p trong hệ logic KD gồm các câu sau:
cp, = Op,(a) <-
(P2 = a (a p 2 (X ) <— Pi(X )) <p3 = a (p 3(X) «- P,(X), op2(X)) Cp4 = op-t(X) <— 0 p 3(X)
Ta xây dựng bộ sinh mô hình I của p theo hộ KD là tập các nguyên tố như
X é l câu <Pi, theo định nghĩa về tính đúng của công thức thì Opi(a) Pi(a) đúng tại w e w, nên Opi(a) 6 I. Nhưng I khôna dược chứa ký hiệu toán tử 0 nên ta gán nhãn 0 bởi <pj(a)> và thêm <pi(a)>pi(a) vào 1 => 1 = (<pi(a)>pi(a)}.
Xét câu (p2, áp dụng tiên đê K và D ta được <P2 Onp2(a) <- Opi(a), gán nhãn như trên ta có (p2 ^ <pi(a)> ũp2(a) <- <pi(a)>pi(a). Vì <pi(a)>pi(a) e I nên <p,(a)>ap2(a) e I => I = {<pj(a)>pi(a), <pi(a)>ũp2(a)}.
Tương tự, áp dụng câu (p3 với I, ta có <pi(a)>p3(a) € I => I = (<pi(a)>pi(a), <p,(a)>op2(a), <pi(a)>p3(a)}.
Á p dụng câu q>4 với I, ta có Gp4(a) e I = > I = {< p i(a )> p i(a ), <p i(a)> op 2(a), <Pi(a)>P3(a), ũp4(a)}.
Như vậy tập I thu được là tập nhỏ nhất các nguyên tố nền suy diễn từ p theo hệ logic KD, Ikd.p = (<pi(a)>pi(a), <pi(a)>Dp2(a), <pi(a)>p3(a). Dp.i(a)}.
IKI) I> cũng là điểm bất động nhỏ nhất cùa ánh xạ Tkd. p và được gọi là bộ sinh mô hình nhỏ nhất cho p theo hệ logic KD.
4.2.5. Thuật giải SLD
Tư tưởng cơ bản của thuật giải SLD đối với một chương trình MProlog cũng tưane như trong lập trình logic cổ điển. Thuật giải SLD áp dụng với một chương trình MProlog p và đích MProlog G để xác định câu trả lời đúng đẳn của P u {GỊ trong một hệ logic modal L.
Trong phần này, sẽ tập trung vào các ví dụ minh họa cho thuật giải SLD. Ví dụ 1: Cho một chương trình MProlog p gồm các công thức sau:
<ị>i = Opi(a) *— <t>2 = o(P2(X) <— Pi(X)) Ộ3 = o (o p 3(X) <- Pi(X), p2(X)) Ộ4 = Dp4(X) <— P ì(X ) <j>5 = e(Ps(X ) < - p4(X)) Và đích G = <- □p5(X)
Sau đây là thủ tục phản bác SLD của P u {G} trong hệ logic KDB với câu trả lời tính toán là {X/ a}.
Đích Câu vào / luật Phép thế biến
<- a p 5(X)
<— P3(Xî) Ộ4 {Xi I X2}
<— <Y>nP3(X2) rSatKDB
<- < Y > P1(X 4), < Y > p2(X4) Ộ3 {X2/ X4}
< - < p1(a)>p2(a) Ộ1 {X4 / a, Y IPi(a)> <- < p1(a)>p,(a) <j>2 {X5/ a }
□ <J>1 e
Ví dụ 2: chương trình Mprolog p trong hệ logic KD gồm các câu sau: <Pi = 0p,(a) <-
<P2 = cì(op2(X) P i(X )) <p3 = a (P3(X) <- P i(X ), C’P2(X)) <p4 = np4(X) 4— Ops(X)
câu đích G = <-np4(X)
Thù tục phản bác của P u { G ) được tóm tất trong bảng sau:
Đỉch Câu vào 1 luật Phép thế biến
<— ap4(X)
<- 0p3(X,) <P4 { X / X ,} <— <Y > P3(Xi)
<- < Y > P i( X 2), < Y > a p2(X 2) <P3 { X i / X 2}
<- <Pi(a)>op2(a) <PI {V / < P ((a)> , x 2
<- < p i(a)> p ,(a) <P2 e
□ ipt e
Như vậy, câu trả lời tính toán cho P u (Gị là { X / a } .