Trong các ứng dụng của metamaterials về anten, để thể hiện vai trò ngăn chặn sự lan truyền sự lan truyền sóng điện từ ngƣời ta còn gọi metamaterials là cấu trúc dải cấm sóng điện từ (EBG: Electronicmagnetic band gap)[33] hay cấu trúc bề mặt trở kháng cao (HIS: High Impedance Surface)[8]. Trong chƣơng này luận văn trình bày về anten metamaterial sẽ đƣa ra khái niệm bề mặt trở kháng cao, giải thích vai trò của nó và ứng dụng của nó trong thiết kế anten.
2.2.1. Bề mặt trở kháng cao (HIS: High Impedance Surface) a. Khái niệm về bề mặt trở kháng cao.
Bề mặt trở kháng cao (HIS: High Impedance Surface)[8, 26] là một loại cấu trúc của metamaterials gồm những cấu trúc kim loại tu ần hoàn cố định trên một đế điê ̣n môi (mass).
Cấu ta ̣o của bề mă ̣t trở kháng cao gồm các tấm kim loa ̣i xếp tuần hoàn cố đi ̣nh trên mô ̣t đế mass , nhƣ̃ng tấm kim loa ̣i đó đƣợc kết nối liên tu ̣c , tiếp điê ̣n bởi cáp đồng tru ̣c (các vias ). Chúng có thể đƣợc hình dung nhƣ nhƣ̃ng cây nấm nhô ra tƣ̀ mô ̣t bề mă ̣t (đƣơ ̣c minh ho ̣a trên hình 2.6).
Hình 2. 6: Mô hình một bề mặt trở kháng cao[28]
Với bề mă ̣t trở kháng cao này , chúng không hỗ trợ truyền sóng mă ̣t mà nó phản xạ sóng điê ̣n tƣ̀ hoàn toàn . Về phƣơng diê ̣n vâ ̣t lý , chúng đƣợc coi nhƣ một mạch cộng hƣởng LC, mà có nguyên lí hoạt động n
hƣ các bộ lọc điện chặn sóng trong mặt phẳng (dòng sóng bức xạ). Mạch điện tƣơng đƣơng đƣợc thể hiện dƣới hình 2.7.
Hình 2. 7: Mạch điện tương đương cho bề mặt trở kháng cao[28]
b. Các đặc tính vật lý của bề mặt trở kháng cao
Các tham số mạch (Circuit Parameters)
Hình 2. 8: Mặt cắt ngang của một bề mặt trở kháng cao 2 lớp đơn giản[28]
Mă ̣t cắt ngang của cấu trúc đ ƣợc thể hiện trong hình 2.8. Nhƣ mô ̣t cấu trúc tƣơng tác với sóng điê ̣n tƣ̀ , xuất hiê ̣n dòng điê ̣n cảm ƣ́ng trong các tấm kim loa ̣i phía trên. Khi cấp nguồn cho bề mă ̣t trở kháng cao, do chênh lê ̣ch điê ̣n thế đã gây ra sƣ̣ tích tu ̣ điê ̣n tích trên đầu các tấm , và nó hình thành một điện dung . Dòng điện dịch chuyển trong tấm tới các vias , ảnh hƣởng tới các dòng đó là một từ trƣờng , và do đó hình t hành một điện cảm . Nguồn gốc của điê ̣n dung và điê ̣n cảm đƣợc minh họa trong hình 2.9:
Hoạt động của cấu trúc có thể đƣợc xét đơ n giản nhƣ mô ̣t ma ̣ch cô ̣ng hƣởng LC, trên hình 2.9. Các giá trị thích hợp để sử dụng cho mô hình không phải là điện dung và điê ̣n cảm của các yế u tố riêng lẻ mà là điện dung bảng và điện cảm bảng . Chúng phụ thuộc vào giá trị của mỗi phần tử cũng nhƣ sự sắp xếp của chúng.
Hình 2. 10: Mô hình mạch sử dụng cho bề mặt trở kháng cao[28]
Đối với các cấu trúc hai lớp , giá trị của mỗi tụ điện đƣợc đƣa ra bởi các bờ điện dung giữa các tấm kim loại phẳng lân cận nhau . Điều này có thể đƣơ ̣c bắt nguồn bằng cách sƣ̉ du ̣ng phép ánh xa ̣ , mô ̣t phƣơng pháp kĩ thuâ ̣t phổ biến để giải quyết trƣờng tĩnh điê ̣n hai chiều . Mô ̣t giải pháp có thể đƣợc tì m thấy cho mô ̣t că ̣p kim loa ̣i cách nhau khoảng cách g, với mô ̣t điê ̣n áp V, nhƣ hình 2.11.
Hình 2. 11: Một cặp kim loại cách nhau bởi một khoảng cách g[28].
Tƣ̀ lí thuyết của phép ánh xa ̣, hàm thông lƣợng điê ̣n cho hình trên đƣợc mô tả bởi hàm sau:
(2.7)
Hình 2. 12: Tụ điện trong bề mặt trở kháng cao[28].
Nếu a >> g, ta có thể tính điê ̣n dung bởi hàm trong phƣơng trình 2.7, thông lƣơ ̣ng cuối trên mô ̣t tấm kim loa ̣i xấp xỉ bởi biểu thƣ́c sau:
(2.8)
Giả sử các tấm có chiều rộng w , và cấu trúc đƣợc bao quanh bởi 1 ở mặt trên, và 2 ở mặt dƣới . Thông lƣợng trên tấm bằng với điê ̣n tích trên tấm đó , bằng với điê ̣n dung và điê ̣n áp trên các tấm . Giá trị điện dung giữa hai tấm đƣợc tính bởi công thƣ́c:
C= Cosh-1 (2.9)
Đối với các bảng mạch ba lớp , điê ̣n dung đƣơ ̣c cho bởi công thƣ́c nổi tiếng tính cho một tụ điện tƣơng đƣơng . S là diê ̣n tích của tấm , và chúng đƣợc ngăn bởi khoảng cách d, của hằng số điện môi .
C= (2.10) Điê ̣n dung tấm là kết quả của các điê ̣n dung thành phần và các yếu tố hình ho ̣c . Điê ̣n dung tấm có thể đƣợc xác đi ̣nh bằng cách xem xét mô ̣t phiến mỏng điê ̣n môi , nhƣ hình vẽ 2.13. Mô ̣t điê ̣n trƣờng đƣơ ̣c áp du ̣ng theo phƣơng tiếp tuyến do ̣c theo tấm, và khi đó ta tính đƣợc điện dung của tấm . Tấm có thể đƣợc chia thành các lát hẹp có bề dày, x. Tấm có đô ̣ dày d, và ta tính tổng điện dun g trong mô ̣t miền tùy ý có chiều dài l, và rộng w.
Hình 2. 13: Một tấm điện môi được chia thành các lớp nhỏ[28]
Ta xét điê ̣n trƣờng đƣợc áp du ̣ng t heo phƣơng vuông góc với tấm , điê ̣n dung của một phần duy nhất đƣơ ̣c tính nhƣ sau:
C= (2.11)
Có l /x miếng mỏng chƣ́a trong chiều dài l , do đó tổng điê ̣n dung bằng biểu thƣ́c sau:
Ctổng = d (2.12)
Các yếu tố w /l có thể đƣợc đơn giản hóa , và còn lại với tấm điện dung trong các đơn vị của Farads – vuông.
Csheet = d (2.13)
Tiếp theo, chèn các tấm kim loại để hình thành các tụ điện ri êng biê ̣t, tụ điện dọc. Chu kì của các bản kim loa ̣i đƣợc thiết kế là a.
Hình 2. 14: Những tấm kim loại tụ điê ̣n đặt trong tấm điê ̣n mô[28]
C = (2.14)
Trong đó l /a chuỗi cá c điê ̣n dung trong chiều dài l, do đó tổng điê ̣n d ung lúc này đƣợc tính bởi.
Ctổng = (2.15) Cuối cùng, chúng ta có đƣợc điện dung tấm trong Farads- vuông
Csheet = (2.16)
Trong thƣ̣c tế, hằng số điê ̣n môi của tấm mỏng đƣợc nâng cao bằng cách chèn các lớp kim loại.
= (2.17)
Điê ̣n dung tấm đƣợc đƣa ra trong phƣơng trình 2.16 có chiều dài, a, của tấm tụ riêng lẻ và đô ̣ dày, d, của chất cách điện. Mỗi tấm có thể chia thành các đô ̣ rô ̣ng nhỏ hơn mà không ảnh hƣởng tớ i điê ̣n dung trên đơn vi ̣ diê ̣n tích trung bình của mô ̣t khoảng, do đó chiều rô ̣ng là không quan tro ̣ng . Ngƣợc la ̣i chiều dài của tấm có ảnh hƣởng lớn, vì nó làm thay đổi số lƣợng tụ điện trong chuỗi cho mỗi đơn vị dài . Nó đƣơ ̣c sƣ̉ du ̣ng cho tất cả diê ̣n tích trên chiều dài và chiều rô ̣ng trên mô ̣t điê ̣n dung rô ̣ng, nhƣng diê ̣n tích đó có thể đƣợc chia theo nhƣ̃ng cách khác nhau . Điê ̣n dung tấm có giá tri ̣ lớn nhất nếu tu ̣ điê ̣n dài và mỏng đƣợc go ̣i là tụ điện rộng.
Điê ̣n cảm của mô ̣t ma ̣ch đơn lẻ , phẳng, bề mă ̣t dẫn là vô cùng nhỏ . Trong thƣ̣c tế, điê ̣n kháng của mô ̣t bề mă ̣t kim loa ̣i bằng đúng điê ̣n trở của nó , cái mà luôn luôn nhỏ hơn nhiều so với 1 ohm trên mô ̣t đơn vi ̣ diê ̣n tích. Trên bề mă ̣t trở kháng cao , điê ̣n cảm lớn hơn nhiều bởi nhƣ̃ng cuô ̣n dây dẫn tới nhƣ̃ng lớp phía trên , bao gồm đƣờng nối (vias), và cả n hƣ̃ng tấm kim loa ̣i , hình 2.15 mô tả mô ̣t dòng điê ̣n cảm ứng từ với diện tích t.l , và bề rộng w . Dòng chạy xung quanh bên ngoài là I , và từ trƣờng xuyên qua cuô ̣n dây là H . Hình 2.15 là tƣơng đƣơng với hƣớng đi của dòng trong bề mă ̣t trở kháng cao , gồm có nhƣ̃ng hàng của đƣờng nối (vias) và các tấm kim loại.
Hình 2. 15: Một dòng điê ̣n của cuộn dây kim loại tính toán cho điê ̣n cảm tấm[28]
Tƣ̀ trƣờng xuyên qua cuô ̣n dây đƣợc xác đi ̣nh bởi cƣờng đô ̣ dòng điê ̣n bên ngoài. H= (2.18)
Năng lƣơ ̣ng dƣ̣ trƣ̃ trong điê ̣n cảm đúng bằng năng lƣợng dƣ̣ trƣ̃ trong tƣ̀ trƣờng.
I2 L = dv (2.19)
Độ tƣ̣ cảm trên cuô ̣n dây đó là:
L = t (2.20)
Đối với điện cảm tấm là He nry trên mô ̣t đơn vi ̣ diê ̣n tích , yếu tố của l/w có thể đƣơ ̣c mang đơn vi ̣ đó . Nhƣ vâ ̣y, điê ̣n cảm tấm chỉ phu ̣ thuô ̣c vào tính chất dày của cấu trúc và đô ̣ tƣ̀ thẩm.
Lsheet = t (2.21)
Ta chỉ đi ̣nh bề mă ̣t mô ̣t tấm trở kháng bằng trở kháng của ma ̣ch cô ̣ng hƣởng tƣơng đƣơng, gồm điê ̣n dung tấm và điê ̣n cảm tấm.
Z= (2.22)
Trở kháng của mô ̣t ma ̣ch tƣơng đƣơng đƣợc minh ho ̣a trong hình 3.11. Nó là điê ̣n cảm ta ̣i tần số thấp , và điện dung tại tần số cao . Trở kháng bằng vô ha ̣n ta ̣i tần số cô ̣ng hƣởng, cho bởi công thƣ́c:
Hình 2. 16: Trở kháng của một mạch cộng hưởng tương đương[28]
Sự phản xạ pha (Reflection Phase)
Bề mă ̣t trở kháng xác đi ̣nh các điều kiê ̣n biên ta ̣i bề mă ̣t cho sóng đƣ́ng hình thành bởi sóng tới và sóng phản xạ . Đối với mặt phẳng OYZ , bề mă ̣t trở kháng đƣơ ̣c nhìn thấy bởi sóng tác đô ̣ng đến tƣ̀ hƣớng OX , và có giá trị tính bởi biểu thƣ́c sau :
Zs = (2.24)
Biểu thƣ́c trên đúng với đi ̣nh luâ ̣t Ohm . Nếu bề mă ̣t có trở kháng thấp , chẳng hạn nhƣ trong trƣờng hợp của mô ̣t vâ ̣t dẫn điê ̣n tốt thì tỉ lê ̣ của điê ̣n trƣờng so với tƣ̀ trƣờng là rất nhỏ . Khi đó điê ̣n trƣờng có mô ̣t giao điểm ta ̣i bề mă ̣t , và từ trƣờng có mô ̣t vùng lớn trên bề mă ̣t . Đối với bề mặt trở kháng cao , giá trị Zs là rất lớn, do đó điê ̣n trƣờng có mô ̣t vùng lớn trên bề mă ̣t , trong khi tƣ̀ trƣờng chỉ là mô ̣t giao điểm . Tên go ̣i cho bề mă ̣t đó là mô ̣t “tƣ̀ dẫn”, bởi tiếp tuyến tƣ̀ trƣờng ở bề mă ̣t là bằng 0.
Chúng ta có thể xá c đi ̣nh các pha phản xa ̣ tƣ̀ bề mă ̣t trở kháng bằng cách khảo sát các sóng đứng hình thành bởi một sóng phát ra từ anten chạy tới bề mặt và một sóng vòng ra phía sau anten tới phản xạ từ bề mặt đó . Các trƣờng của sóng đƣ́ng có các biểu thức sau:
E(x) = Ef + Eb H(x) = Hf + Hb
(2.25)
= Zs
(2.26)
Điê ̣n trƣ ờng và từ trƣờng của mỗi sóng chạy liên hệ với nhau bởi trở kháng của không gian tự do.
= = =
(2.27)
Pha phản xa ̣ là sƣ̣ khác pha giƣ̃a sóng vòng ra phía sau anten và sóng phát ra từ anten. = Im {ln ( )} (2.28)
Kết hơ ̣p phƣơng trình trên với phƣơng trình 2.26 và phƣơng trình 2.28 ta đƣơ ̣c pha phản xa ̣ của mô ̣t bề mă ̣t trở Zs
= Im {ln ( )} (2.29)
Khi Zs giảm, pha phản xa ̣ bằng . Khi Zs rất lớ n, pha phản xa ̣ bằng 0. Pha chạy qua khi Zs bằng độ lớn trở kháng của không gian tƣ̣ do . Thay Zs = chúng ta có thể có đồ thị pha phản xạ củ a bề mặt trở kháng cao . Thông số điển hình cho mă ̣t phẳng đất hai lớp là 2nH trên mô ̣t đơn vi ̣ diê ̣n tích của độ tự cảm, và 0,05 pF – cho mô ̣t đơn vi ̣ điê ̣n dung.Đối với những giá trị này, pha phản xạ là đồ thị trên hình 2.8. Kết quả là rất giống với pha phản xa ̣ đo đƣợc của mô ̣t bề mă ̣t trở kháng cao hai lớp với các thông số mạch đó.
Sóng mặt (Surface Waves)
Hình 2.18 cho biết hình ho ̣c đƣợc sƣ̉ du ̣ng trong bề mă ̣t trở kháng . Đối với điê ̣n tƣ̀ trƣờng trên mô ̣t bề mă ̣t có chiều rô ̣ng w , và chiều dài l , dòng điện trên bề mă ̣t đƣơ ̣c tính cho bề mă ̣t chung giƣ̃a tƣ̀ trƣờng.
Hình 2. 18: Một diê ̣n tích hình chữ nhật sử dụng cho bề mặt trở kháng[28]
I = Hy.w (2.30)
Hiê ̣u điê ̣n thế giƣ̃a hai đầu chiều dài l đƣợc tính bởi điê ̣n trƣờng ta ̣i bề mă ̣t. V= Ez.l (2.31)
Trở kháng bề mă ̣t có thể đƣợc đi ̣nh nghĩa bởi tỉ số của điê ̣n trƣờng trên tƣ̀ trƣờng ta ̣i bề mă ̣t.
Zs= = (2.32)
Các yếu tố w /l đƣơ ̣c đồng nhất , và trở kháng bề m ặt đƣợc xác định theo cách này giống cách đƣa ra dựa vào định luật Ohm , đƣơ ̣c biểu diễn trong đi ̣nh luâ ̣t Ohm trên mô ̣t đơn vi ̣ diê ̣n tích.
Hình 2. 19: Sóng mặt truyền trên một bề mặt trở kháng bất kì[28]
Hoạt động của sóng mặt có thể đƣợc xuất phát cho một bề mặt trở kháng tổng quát. Giả sử một bề mặt trong mặt phẳng oyz với trở kháng Z s. Sóng mặt lan truyền theo hƣớng + oz, với các trƣờng phân rã theo hƣớng +ox. Nhƣ minh ho ̣a trên hình 2.19.
Đối với sóng mặt TM (Transverse Magnetic), Hx = Hz = Ey = 0. Giả sử các trƣờng thu nhỏ theo hƣớng X với hằng số phân rã , và theo hƣớng Z với hệ số truyền qua k. Bắt đầu theo các thành phần của hƣớng Z của điê ̣n trƣờng.
Ez = C (2.33) Hy có thể tính theo định luật Ampe:
= (2.34)
Viết ra các đa ̣o hàm mô ̣t cách rõ ràng , và tính toán 3 thành phần của trƣờng ta đƣơ ̣c giá tri ̣ 0, chúng ta đƣợc biểu thức sau:
jEz = (2.35)
Giải hệ phƣơng trình gồm phƣơng trình 3.27 và phƣơng trình 3.29 ta đƣơ ̣c: Hy = C (2.36)
Trở kháng bề mă ̣t trong hê ̣ thống đƣợc tính bởi công thƣ́c:
Zs = (2.37)
Chèn phƣơng trình 2.33 và phƣơng trình 2.36 vào phƣơng trình 2.37 ta đƣơ ̣c trở kháng bề mă ̣t cho sóng mă ̣t TM (Transverse Magnetic):
Zs(TM) = (2.38)
Rõ ràng sóng mặt TM chỉ xảy ra trong trƣờng hợp một bề mặt với trở kháng tích cực – mô ̣t điê ̣n kháng bề mă ̣t.
Chúng ta cũng có thể xác định trở kháng cần thiết cho sóng mặt TE (Transverse Electric). Ta sƣ̉ du ̣ng môt hình tƣơng tƣ̣ nhƣ hình 2.19, giả sử điện trƣờng theo phƣơng nằm ngang, hƣớng theo tru ̣c OY. Tƣ̀ trƣờng có da ̣ng vòng xuất hiê ̣n tƣ̀ bề mă ̣t trong mă ̣t phẳng OXZ. Hỗ trơ ̣ sóng TM, giả sử công thƣ́c sau cho tƣ̀ trƣờng.
Hz = C (2.39) Ta có thể tính đƣợc Ey sƣ̉ du ̣ng đi ̣nh luâ ̣t Faraday
Đa ̣o hàm của trƣờng khác không cho bởi phƣơng trình.
= - jHz (2.41) Tƣ̀ phƣơng trình 2.40 và phƣơng trình 2.38 ta đƣợc.
Ey = C (2.42)
Để có đƣợc dấu chính xác cho trở kháng bề mặt , nó quan trọng để tính toán quy tắc bàn tay phải , và bản chất vector của các trƣờng . Trở kháng của mô ̣t bề mă ̣t đƣơ ̣c tính bởi tỉ số của điê ̣n trƣờng và tƣ̀ trƣờng, với mô ̣t sƣ̣ đi ̣nh hƣớng phù hợp với mô ̣t sóng tác động trên bề mặt ra phía ngoài . Với quy ƣớc rằng mô ̣t bề mă ̣t hấp thu ̣ sẽ có trở kháng dƣơng , trong khi mô ̣t bề mă ̣t với gain phản xa ̣ sẽ có trở kháng âm . Nhƣ vâ ̣y, trở kháng bề mă ̣t đƣợc biết bởi sóng TE đƣợc tính bởi biểu thức sau:
Zs = (2.43)
Sƣ̣ khác biê ̣t giƣ̃a trƣờng hợp sóng TM và sóng TE có thể đƣợc hiểu bằng cách ghi nhớ trong cả hai trƣờng hợp , các kí hiệu nhƣ một bề mặt sóng vốn sẽ đƣợc hấp thụ. Trƣờng hợp TE có sƣ̣ phân cƣ̣c E y, và trƣờng hợp TM có sƣ̣ phân cƣ̣c E z. Sƣ̣ xuất hiê ̣n dấu âm có thể đƣợc hiểu bằng cách hình dung phối hợp lần lƣợt hê ̣ thống nhiều hƣớng theo tia X:
Y Z
Z - Y
(2.44) Với quy ƣớc trên, trở kháng bề mă ̣t cho sóng TE đƣợc tính bởi:
Zs (TE) = (2.45)
Nhƣ vâ ̣y , mô ̣t điê ̣n kháng âm và mô ̣t dung kháng bề mă ̣t , là cần thiết h ỗ trợ