Đề: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Gọi p là nửa chu vi, S là diện tích. Chứng minh:
a) b) c) Giải: a) Ta có: Vậy Áp dụng Bất đẳng thức BCS ta có: Từ (1) và (2) ta suy ra đpcm.
b) Ta có (công thức Heroin), nên bất đẳng thức đã cho tương đương với:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Nhân 3 bất đẳng thức trên lại với nhau rồi lây căn 2 vế, ta thu được:
Nhân vế theo vế 2 BĐT trên ta thu được . Vậy (1) đúng. Suy ra (b) đúng. c) Xét tổng Ta có Do nên suy ra với Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
Vậy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Fri, Jun 7, 2013 at 11:36 AM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 4c, Chương 2, $3
Đề: Giải và biên luận hệ Giải:
Đặt .
Với cách đặt u và v như thế, ta có x và y luôn luôn do đó (I) xác định. Vậy ta chỉ cần xét điều kiện Thay u và v vào (I), ta được:
Giải hệ (III)
Xét phương trình (1) có
: Khi đó (1) vô nghiệm => (III) vô nghiệm
: Khi đó (1) có nghiệm duy nhất (loại). Do đó (III) cũng vô nghiệm
: Khi đó (1) có 2 nghiệm phân biệt là và .
Nghiệm luon luôn âm nên loại. Để nhận nghiệm ta phải có:
Khi đó (III) có nghiệm là và nghiệm của (I) là
Giải hệ (IV)
Xét phương trình (2) có
: Khi đó (2) vô nghiệm, suy ra (IV) vô nghiệm
: Khi đó (2) có nghiệm duy nhất . Từ đó nghiệm của (IV) là (nhận). Khi đó nghiệm của (I) là
Điều kiện nhận nghiệm là
Tương tự điều kiện nhận nghiệm ta cũng thu được Khi đó ta có các nghiệm của (I) là:
Tổng hợp cho ệ (III) và (IV) ta biện luận cho hệ (I) như sau. Biện luận:
Khi hoặc : Hệ đã cho vô nghiệm
Khi : Hệ có nghiệm duy nhất
Khi : Hệ có 2 nghiệm phân biệt
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Fri, Jun 7, 2013 at 1:01 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 2a, Chương 2, $4
Đề: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Giải:
Đặt . Dễ thấy quan hệ x-u là quan hệ 1-1. Do đó nếu (1) có nghiệm duy nhất với ẩn u thì cũng có nghiệm duy nhất với ẩn x. Ta tìm m để (1) có nghiệm duy nhất với u.
Ta có:
Nhận xét: Nếu phương trình (2) có nghiệm thì cũng là nghiệm ( do ). Do đó để (2) có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó phải thỏa . Thay giá trị u=0 vào (2) ta tìm được m=1.
Thử lại, khi m=1. Ta có:
(duy nhất)
Vậy m=1 là giá trị cần tìm. Khi đó nghiệm của (1) là x=1 duy nhất.
Bên lề: Thật ra ngay từ đầu ta không cần đặt u=x-1 mà có thể nhận xét ngay rằng do nên ta suy ra để (1) có nghiệm duy nhất là x thì x=2-x <=> x=1 sau đó thế vào (1) tìm m. Cách làm này ngắn hơn tuy nhiên sẽ gặp khó khăn nếu biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối không phải là x-1 mà là một biểu thức f(x) phức tạp nào đó thì ta không thấy ngay được. Do đó phương pháp
chung là nên đặt ẩn phụ để dễ dàng giải với ẩn phụ sau đó quay về ẩn chính.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Fri, Jun 7, 2013 at 2:27 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 3, Chương 2, $4
Đề: Giải và biện luận hệv Giải:
Điều kiện xác định: Với điều kiện (*), ta có:
Đến đây ta khoan vội giải tiếp mà nhận xét 1 chút. Ta thấy vế phải của (5) và (6) là những số không âm. Nếu nào đó là nghiệm của (II) mà thỏa điều kiện (1) và (2), thì cũng thỏa luôn (3) và (4), vì
. Vậy từ đây ta có thể rút gọn điều kiện (*) trở thành:
Điều kiện:
Bây giờ, ta tiếp tục giải (II) với điều kiện (**). Ta có:
Giải (III):
Để nghiệm của (III) thỏa (**) thì
Giải (IV)
: Khi đó (7) vô nghiệm => (IV) vô nghiệm
. Khi k= -1, (IV) có nghiệm là (nhận vì thỏa (**)). Khi k=3, (IV) có nghiệm là x=y=0 (loại)
. Khi đó (7) có 2 nghiệm phân biệt là:
Để nghiệm thỏa (**) ta phải có:
Để nghiệm thỏa (**) ta cũng có điều kiện (V) giống như trường hợp trên. Như vậy kết quả cho trường hợp này cũng giống như kết quả (***).
Tổng hợp hệ (III) và hệ (IV) ta có biện luận như sau. Biện luận:
Khi : Hệ đã cho vô nghiệm
Khi : Hệ có nghiệm duy nhất x=y=k+3
Khi : Hệ đã cho có 3 nghiệm
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Fri, Jun 7, 2013 at 4:02 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 4, Chương 2, $4
Đề: Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải:
cần là nghiệm đó phải thỏa .
Thay x=0 vào (I) ta có:
Vậy ta tìm được hai giá trị của a là a=0 và a=2. Điều kiện đủ: thử lại ta thấy:
Khi a=2:
Thay 2 cặp số (x,y)=(1,0) và (x,y)=(0,-1) vào hệ trên ta thấy thỏa. Vậy trường hợp a=2 hệ (I) không có nghiệm duy nhất. Khi a = 0:
Từ phương trình (2) ta suy ra . Do đó Xét phương trình (1), ta có:
Từ đó suy ra: . Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi Từ đó suy ra (I) có nghiệm duy nhất là (x,y)=(0,1).
Vậy a=0 là giá trị cần tìm.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Fri, Jun 7, 2013 at 10:54 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com