Đề: Giải phương trình với .
Giải:
Trước tiên ta chứng minh nếu (*) có nghiệm là cặp số tự nhiên (x,y), thì . Thật vậy, giả sử (*) có nghiệm (x,y) mà , khi đó (*) trở thành:
Xét vế trái của (1), ta có
Xét vế phải của (1):
Đặt . Khi đó ta có:
Cho r lần lượt từ 0 đến 6, ta có với .
Như vậy ta có kết hợp với (2) ta suy ra Vế trái và Vế phải của (1) bằng nhau là vô lý. Vậy (*) không có nghiệm (x,y) mà trong đó . Vậy ta có .
Cho x các giá trị từ 1 đến 6 thay vào vế trái của (*) để tìm y, ta được kết quả sau: Với x=1, ta có => (x,y) = (1,1)
Với x=2, ta có (nghiệm lẻ không nhận)
Với x=3, ta có => (x,y) = (3,3)
Với x=4, ta có (nghiệm này lẻ không nhận)
Với x=5, ta có (nghiệm lẻ không nhận)
Với x=6, ta có (nghiệm lẻ không nhận)
Vậy (*) có hai nghiệm là (x,y)={(1,1), (3,3)}
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Sat, Jun 1, 2013 at 9:53 AM
Bài 2c, Chương 2, $3
Đề: Giải và biện luận hệ phương trình Giải:
Khi a=0, ta có:
Phương trình có vô số nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m. Khi
Nhân xét: không là nghiệm của (1). Chia 2 vế của (1) cho ta được:
Đặt , khi đó
Từ (3) ta suy ra nếu m=0 hoặc m=1 thì nghiệm t sẽ bị loại. Khi m khác 0 và m khác 1 ta được nghiệm:
Biện luận:
Khi a=0, PT đã cho có vô số nghiệm với mọi giá trị m. Khi a khác 0:
Nếu PT đã cho vô nghiệm
Nếu PT đã cho có nghiệm duy nhất là
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Sat, Jun 1, 2013 at 10:14 AM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 4b, Chương 2, $3
Đề: giải và biện luận hệ Giải:
Điều kiện xác định: Với điều kiện (*), ta có:
Ta thấy vế trái của (1) là số không âm, nên vế phải của (1) cũng phải không âm, nên ta có , kết hợp điều này với điều kiện (*) ta suy ra điều kiện chung của nghiệm của (I) là .
Với điều kiện (**), ta có:
Để nghiệm của (III) thỏa (**) thì . Để nghiệm của (IV) thỏa (**) thì . Hơn nữa khi a=0 thì nghiệm của (III) và nghiệm của (IV) trùng nhau x=y=0. Như vậy ta biện luận như sau.
Biện luận:
Khi a>0, hệ đã cho vô nghiệm
Khi a=0, hệ đã cho có nghiệm duy nhất x =y = 0.
Khi a<0, hệ đã cho có 2 nghiệm:
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 5:30 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 6, Chương 3, $1
Đề: Chứng minh rằng ta có:
a)
Giải:
Biến đổi tương đương BĐT đã cho về 1 BĐT luôn luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. Suy ra đpcm.
Cách khác: Do a,b,c>0 nên ta có thể sử dụng BĐT Cauchy để chứng minh như sau:
Ta có nên:
Do đó
b) Áp dụng kết quả câu a), ta có:
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có
(đpcm)
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 5:45 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 7, Chương 3, $1
Đề: Cho a,b,c>0 với . Chứng minh Giải:
Vậy ta có đpcm.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 6:03 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 8, Chương 3, $1
Đề: Cho a,b,c,d>0 và thỏa . Chứng minh
Giải: Từ (*) ta có:
Vậy ta có
Làm tương tự ta được:
Nhân vế theo vế các BĐT (2),(3),(4),(5) ta được:
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 7:29 PM To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 9, Chương 3, $1
Đề: Chứng minh rằng nếu và thỏa thì ta có
Giải: Chứng minh Ta có: Đẳng thức xảy ra <=> x+y+z=0 Chứng minh Ta có: Đẳng thức xảy ra
Vậy bài toán đã giải quyết xong.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 8:12 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 10, Chương 3, $1
Đề: Cho . Chứng minh Giải:
Ta luôn có
Từ (*) ta suy ra chỉ cần chứng minh BĐT đã cho với trường hợp a,b,c>0. Các trường hợp còn lại căn cứ vào (*) ta suy ra BĐT đã cho cũng đúng. Dấu "=" của (*) xảy ra khi a,b,c cùng dấu.
Do nên ta có:
Làm tương tự ta cũng có:
Cộng vế theo vế của 3 BĐT trên lại ta được:
Mà theo BĐT Cauchy ta có:
Từ đó suy ra:
Vậy (2) đúng. Suy ra BĐT đã cho đúng. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 8:37 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 11, Chương 3, $1
Đề: Cho a,b,c>0. Chứng minh Giải:
Xét hàm số . Ta có:
Mà theo BĐT Cauchy, ta có
Suy ra (đpcm)
Đấu "=" xảy ra <=> a=b=c.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 8:59 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 12, Chương 3, $1 Đề: Chứng minh rằng ta có: Giải: Ta sẽ chứng minh thì Thật vậy, Áp dụng BĐT Bernoulli ta có: Vậy (3) đúng nên (2) đúng. Từ (2) ta có: Vậy suy ra (đpcm)
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Mon, Jun 3, 2013 at 9:20 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 13, Chương 3, $1 Đề: Chứng minh Giải: Xét hàm số Ta có:
Vậy ta luôn có:
Cho n = 3,4,5,.... n và ghép với trường hợp ta có:
(đpcm)
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 7:51 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 14, Chương 3, $1
Đề: Cho 0<a,b<1. Chứng minh Giải:
Do vai trò của a và b đối xứng nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
Ta có: Do 0<b<1 nên ta có . Áp dụng BĐT Bernoulli ta có: Suy ra: Ta sẽ chứng minh Thật vậy, ta có Xét hàm số (0<x<1) Ta có
Xét hàm có . Vậy g(x) là hàm giảm trên (0,1) nên tử g(x)>g(1)=0.
Vậy ta đã chứng minh được hay .
Từ (3) ta suy ra hay (2) đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 8:47 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 15, Chương 3, $1 Đề: Cho , đặt . Chứng minh: a) b) c) Giải:
a) Khai triển từng số hạng bình phương của vế trái, khai triển bình phương của vế phải, sau đó đơn giản 2 vế. Ta được bất đẳng thức đã cho tương đương với:
Áp dụng Bất đẳng thức BCS ta có: Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Nhân vế theo vế của (3) và (4) ta suy ra:
Vậy từ (5) ta suy ra:
Từ (2) và (6) ta suy ra (1) đúng. Vậy (a) đúng => đpcm.
b) Tương tự câu a) ta khai triển từng số hạng bình phương của vế trái, khai triển bình phương của vế phải, sau đó đơn giản 2 vế. Ta được bất đẳng thức đã cho tương đương với:
Bất đẳng thức (1) này đã được chứng minh ở câu a). Vậy ta có (b) đúng => đpcm.
c) Đặt .
Ta có
Suy ta . Khi đó Vế trái của (c) là:
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 9:09 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com Bài 16, Chương 3, $1 Đề: Cho . Chứng minh Giải: Xét hàm số . Ta có
Vậy BĐT đã được chứng minh.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 9:21 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 17, Chương 3, $1
Đề: Cho thay đổi và thỏa . Tính maxA với .
Giải:
Do nên ta có và .
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số (6-2x), (12-3y), (2x+3y) ta có:
Vậy maxA = 36. Khi đó .
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 9:31 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 20, Chương 3, $1
Đề: Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác đều nếu các cạnh a,b,c của nó thỏa điều kiện:
Giải:
Ta có
Nhân vế theo vế của 3 BĐT trên, rồi lấy căn hai vế ta thu được:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Vậy tam giác ABC đều.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 9:57 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Đề: Tính miny với và a,b,x>0 Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho n số và m số ta có:
Đẳng thức xảy ra
Vậy khi
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Tue, Jun 4, 2013 at 10:20 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 22, Chương 3, $1
Đề: Cho thỏa điều kiện với b>0 cho trước. Chứng minh rằng: a) Nếu thì max(x+y+z)=36
b) Nếu b<3 thì Giải:
a) Cộng vế theo vế hai BĐT của (*) ta được:
Do nên ta có . Từ đó suy ra hay max(x+y+z)=36. Đẳng thức xảy ra khi
2x+3z=72 và x+3y=36, b=3. b) Ta biến đổi (*) như sau:
Cộng vế theo vế 2 BĐT trên ta được: .
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Wed, Jun 5, 2013 at 7:33 PM To: vb2toan-k2@googlegroups.com
Bài 1, Chương 3, Phần làm thêmĐề: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh Đề: Cho a,b,c,d>0. Chứng minh
Giải:
Nhận xét: Với 3 số thực bất kỳ x,y,z>0 mà x<y thì ta có .
Áp dụng (1) với thì ta được:
Làm tương tự ta được:
Cộng vế theo vế của các BĐT (2),(3),(4),(5) ta thu được:
Ta lại có:
Cộng vế theo vế của các BĐT (7),(8),(9),(10) ta thu được:
Từ (6) và (11) ta suy ra đpcm.
SON.VH <mrson.vh@gmail.com> Wed, Jun 5, 2013 at 7:47 PM
To: vb2toan-k2@googlegroups.com