Câu hỏi
2.1. Nêu định nghĩa mặt định hướng, cho ví dụ ?
2.2. Định nghĩa ánh xạ Gauss, dạng cơ bản thứ hai, độ cong pháp, độ cong Gauss.
2.3. Chứng minh rằng nếu tất cả các điểm của mặt liên thông S là điểm rốn thì S chứa trong một mặt cầu hoặc chứa trong một mặt phẳng.
2.4. Khái niệm mặt kẻ, mặt cực tiểu, ví dụ ?
2.5. Trên một mặt chính qui, chứng minh rằng nếu độ cong trung bình bằng không tại một điểm không phải là điểm phẳng thì tại điểm đó có hai phương tiệm cận trực giao nhau.
Bài tập
2.1. Giả sử rằng một mặt chính qui Slà hợp của hai mặt chính qui S1 và S2, S =S1∪S2. Chứng minh nếu S1 và S2định hướng được và S1∩S2 liên thông thì S định hướng được.
2.2. Cho S=S1∪S2, với S, S1, S2là các mặt chính qui, S1, S2 liên thông và S1∩S2có hai thành phần liên thông A và B. Chứng minh nếu S1 và S2có thể định hướng sao cho các định hướng cảm sinh trên A là trùng nhau còn các định hướng trên B là đối nhau thì S là mặt định hướng được. Chứng minh đây cũng là trường hợp của băng Mobius.
2.3. Cho S S1, 2 là hai mặt chính qui, S2 là mặt định hướng và f S: 1→S2 là một vị phôi địa phương. Giả sử N2 là định hướng trên S2, chúng ta xác định ánh xạ 3
1: 1
N S →ℝ như sau: nếu
1
p S∈ , đặt N p1( ) a b
a b
∧ =
∧ với {a b, } là một cơ sở của T Sp 1 thoả mãn
( 2 )
det df a df a N f pp( ), p( ), ( ( )) >0
Chứng minh rằng N1 là một trường vec tơ pháp tuyến trên S1 và do đó S1 cũng định hướng được.
2.4. Cho S S1, 2 là hai mặt chính qui định hướng được. Chứng minh rằng S1 định hướng được khi và chỉ khi S2cũng định hướng được.
2.5. Khảo sát các mặt sau (xác định dạng cơ bản I, II, các độ cong, các điểm kỳ dị, điểm rốn…) a) Mặt tròn xoay trục Oz
x= f u( ) cos , v y= f u inv z( )s , =g u( ) b) Mặt cầu
cos cos , cos sin , sin
39 c) Mặt ellipsoid tròn xoay
cos cos , cos sin , sin , , 0
x a= u v y a= u v z c= u a c>
d) Mặt hyperboloid 1- tầng tròn xoay
cos(h ) cos , cos( )sin , sin , , 0
x a= u v y a= hu v z c= u a c>
e) Mặt hyperboloid 2 - tầng tròn xoay
sin(h ) cos , sin( )sin , cos(h ), , 0
x a= u v y a= hu v z c= u a c> f) Mặt paraboloid tròn xoay 2 cos , sin , x u= v y u= v z u= g) Mặt trụ tròn xoay cos , sin , x u= v y u= v z u= h) Mặt nón tròn xoay trừ điểm đỉnh cos , sin , , 0 x u= v y u= v z ku u= ≠ i) Mặt xuyến
( cos ) cos , ( cos )sin , sin , 0
x= a b+ u v y= a b+ u v z b= u < <b a
k) Mặt catenoid
cosh cos , u cosh sin , u , 0
x a v y a v z u a
a a
= = = > ;
2.6. Chứng minh rằng nếu một mặt chính qui tiếp xúc với một mặt phẳng dọc theo một đường cong thì các điểm của đường cong đó hoặc là điểm parabolic hoặc là điểm phẳng.
2.7. Giả sử mặt chính qui S có tính chất k1 ≤1, k2 ≤1 tại mọi điểm. Độ cong của đường cong trên mặt S thoả mãn có thỏa mãn k1 ≤1 không ?
2.8. Chứng minh rằng tổng các độ cong pháp theo hai hướng trực giao tại một điểm p S∈ là một hằng số.
2.9. Chứng tỏ rằng tại điểm gốc (0,0, 0)O của mặt yên ngựa (hyperbolic paraboloid) z=axy, độ cong Gauss K = −a2, còn độ cong trung bình H = 0.
2.10. Xét đường tractrix trong mặt phẳng Oxz
( ) sin , ( ) 0, ( ) cos ln(tan ) 2
t
x t = t y t = z t = t+
a) Quay đường tractrix quanh trục Oz ta nhận được một mặt tròn xoay gọi là mặt giả cầu. Hãy xác định một tham số hoá của mặt giả cầu trong lân cận của một điểm chính qui
b) Chứng minh rằng độ cong Gauss của mặt giả cầu tại một điểm chính qui bất kỳ bằng -1 c) Dùng phần mềm Maple hoặc Mathematica để vẽ mặt giả cầu
2.11. Xác định các đường tiệm cận và các đường chính khúc của mặt Helicoid xác định bởi tham số hoá
sinh cos , sinh sin , , 0
x= v u y= v u z cu c= ≠
và chứng minh mặt Helicoid là mặt cực tiểu.
2.12. Xác định các đường tiệm cận và các đường chính khúc của mặt z=xy.
2.13. Chứng tỏ rằng tại điểm hyperbolic, các phương chính là phân giác của các đường tiệm cận. 2.14. Cho C⊂S là một đường cong chính qui trên mặt chính qui S với độ cong Gauss dương. Chứng minh rằng độ cong k của C tại một điểm p C∈ thoả mãn
40
k≥min(k1 ,k2), với k k1, 2 là các độ cong chính của S tại p.
2.15. Chứng minh rằng độ cong trung bình của mặt S tại một điểm p S∈ là
0 1 ( ) n H k d π θ θ π = ∫
với ( )kn θ là độ cong pháp tại p theo hướng lập với một hướng cố định v một góc θ.
2.16. Mặt kẻ X(u,v) = α( )u +uw( )u được gọi là mặt kẻ khả triển nếu det w, w ', '( α )=0. Chứng minh rằng tại các điểm chính qui của mặt kẻ khả triển. Độ cong Gauss K = 0 và
, , 0
v v v u
N X = N X =
Từ đây suy ra rằng mặt phẳng tiếp xúc (tại các điểm chính qui) của một mặt khả triển là hằng dọc một đường sinh cố định.
2.17. Cho điểmp S∈ không phải là điểm rốn và gọi {e e1, 2} là cơ sở trực chuẩn sao cho
1 1 1
( )
p
dN e = −k e , dN ep( )2 = −k e2 2. Giả sử θ và ϕ là góc mà hai vec tơ v v1, 2 tạo với vec tơ e1. Chứng minh rằng v v1, 2 là hai vec tơ liên hợp khi và chỉ khi
1cos os 2sin sin .
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đỗ Ngọc Diệp (2001), Hình học vi phân, Viện toán học.
[2]. Đoàn Thế Hiếu (2009), Giáo trình hình học vi phân, Đại học Huế. [3]. Đoàn Quỳnh (2007), Hình học vi phân, NXBGD.
[4]. Đoàn Quỳnh (2007), Bài tập hình học vi phân, NXBGD.
[5]. Đặng Văn Thuận (2000), Giáo trình hình học vi phân, Đại học Cần Thơ.
[6]. M.XPIVAK (1985) Giải tích toán học trên Đa tạp, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.
[7]. Manfredo P do Carmo (1999), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Instituto de Matemetica Pura e Aplicada (IMPA).