2.3.1. Độ cong pháp
Định nghĩa 2.3. Cho C là đường cong chính qui trên mặt S đi qua điểm p. Gọi k là độ cong của C tại p, n là vec tơ pháp (đơn vị) của C tại pvà N là vec tơr pháp (đơn vị) của S tại p. Khi đó số k pn( )=k n N, được gọi là độ cong pháp của C⊂S tại p
Nhận xét 2.1. Độ cong pháp k pn( ) chính là độ dài hình chiếu của kn lên pháp tuyến của mặt
với dấu phụ thuộc vào hướng của N.
Giả sử ω∈T Sp , ω =1. Gọi α là đường tham số (với tham số độ dài cung) α( )0 = p,
( )
' 0
α =ω.
Kí hiệu N s( ) là hạn chế của N lên đường tham số α, do N, 'α =0, ta suy ra
( ), ''( ) '( ), '( )N s α s = − N s α s N s α s = − N s α s Do đó ( ) ( ' 0 ) ( ' 0 , ' 0( )) ( ) p α dNp α α ∏ = − ( ) ( ) ' 0 , ' 0 N α = ( )0 , '' 0( ) N α = ( ) ( ) , n n N k p k p = = . Từđây chúng ta có các nhận xét sau. Nhận xét 2.2.
+ Giá trị của dạng cơ bản thứ hai ∏p đối với vec tơ đơn vị ω∈T Sp chính là độ cong pháp của một đường chính qui đi qua p và có vec tơ tiếp xúc là ω.
+ Độ cong pháp k pn( ) chỉ phụ thuộc vào vec tơ tiếp xúc, không phụ thuộc vào đường cong.
+ Với ω∈T Sp không nhất thiết là vec tơ đơn vị, ta có công thức sau
( ) ( ) ( ) p n p k p I ω ω ∏ = Từ nhận xét này chúng ta đi đến định lí sau
Định lí 2.1. (Meusnier). Tất cả các đường cong nằm trên mặt cùng đi qua một điểm p có các tiếp tuyến tại điểm này trùng nhau có độ cong pháp tại điểm này giống nhau.
26
Định nghĩa 2.4. Độ cong pháp của mặt S tại điểm p S∈ theo (hướng của) vec tơ ω là độ cong của một đường chính qui trên mặt đi qua p và có vec tơ tiếp xúc tại p là ω.
Xét mặt phẳng P đi qua p với cặp vec tơ chỉ phương {ω,N}. Giao của P và S được gọi là lát cắt chuẩn tắc của Stại p dọc theo ω. Trong một lân cận của p, lát cắt này là một đường chính qui có pháp vec tơ là ±N p( ) hoặc là vec tơ không. Với thuật ngữ này chúng ta có thể phát biểu
Mệnh đề 2.5. Giá trị tuyệt đối của độ cong pháp của mặt S tại điểm p theo vec tơ ω bằng độ
cong của lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo ω.
Ví dụ 2.6. Nếu S là mặt phẳng, thì N =0. Cho nên dN =0 và do đó ∏ p=0. Suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0.
Có thể lập luận theo cách khác như sau: do tất cả các lát cắt chuẩn tắc của mặt đều là đường thẳng, có độ cong bằng 0 nên độ cong pháp tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0.
Ví dụ 2.7. Xét mặt cầu S2 với định hướng N x y z( , , ) (= − − −x y z, , ). Mỗi lát cắt chuẩn tắc là một đường tròn lớn, có độ cong bằng 1. Từ đây suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 1.
Do ánh xạ tuyến tính dNp là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e e1, 2} sao cho
( )1 1 1
p
dN e = −k e , dN ep( )2 = −k e2 2. Nói cách khác −k1, −k2 là các giá trị riêng, còn e1, e2 là các vec tơ riêng đơn vị lần lượt ứng với −k1, −k2 của dNp. Chúng ta luôn giả thiết rằng k1≤k2.
Định nghĩa 2.5. Các giá trị k1, k2 được gọi là các độ cong chính, còn các vec tơ riêng e1, e2 xác định các phương gọi là các phương chính.
Chúng ta có thể gọi các vec tơ e1, e2 là các vec tơ chỉ phương chính.