Fx =x π < ≤x π
8.3 Trung bình thống kê
Đối với một số mục đích, một chức năng xác suất cung cấp thêm thông tin về một RV hơn so với thực sự cần thiết. Thật vậy, mô tả đầy đủ của một RV có thể chứng minh được
một sự bối rối của sự giàu có, thêm rắc rối hơn so với chiếu sáng. Vì vậy, chúng ta thường tìm thấy nó thuận tiện hơn để mô tả một RV bởi một số đổi vài đặc tính. Những con số này trung bình thống kê khác nhau được trình bày ở đây
Trung bình, phương sai và kỳ vọng
Trị trung bình của biến ngẫu nhiên X là một mx hằng số bằng tổng của val các UE X trọng bởi xác suất của họ. Trung bình thống kê tương ứng với mức trung bình thí nghiệm
bình thường trong ý nghĩa rằng tổng của các giá trị quan sát được hơn thử nghiệm
dự kiến sẽ được về . Vì lý do đó, chúng tôi cũng kêu gọi giá trị kỳ vọng của X,
và chúng tôi viết hay đứng cho các hoạt động kỳ vọng rằng sản lượng .
Xây dựng một biểu hiện cho mức trung bình thống kê hoặc kỳ vọng, chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét N quan sát độc lập của một RV rời rạc. Nếu sự kiện X = , xảy ra lần, sau đó tổng của các giá trị quan sát
Khi phân chia bởi để cho , tần số tương đối trở nên .
Như vậy, giá trị trung bình thống kê
[1]
thể hiện giá trị trung bình của một RV rời rạc về tần số chức năng của nó . Đối với giá trị trung bình của một RV liên tục, chúng ta thay thế với
= và vượt qua từ tổng kết hội nhập để
[2]
Biểu thức này thực sự bao gồm Eq. (1) như một trường hợp đặc biệt thu được bằng văn bản PDF rời rạc như
Do đó, khi ta cho phép xung trong PDF, Eq. (2) áp dụng cho bất kỳ RV - liên tục, rời rạc, hoặc hỗn hợp. Kể từ câu này, sau đó, trung bình thống kê sẽ được viết chủ yếu là tích Gral hình thức với các file PDF. Các biểu thức tương ứng cho một RV đúng rời rạc có thể dễ dàng thu được bằng cách thay thế các tần số chức năng ở vị trí của file PDF, hoặc trực tiếp hơn, bằng cách thay thế tích hợp với tổng kết tương tự.
Khi hàm biến đổi X vào một biến ngẫu nhiên Z, dự kiến giá trị của nó có thể được
tìm thấy từ bằng cách ghi nhận rằng sự kiện biến đổi , do đó:
[3]
Nếu , sau đó E[ ] được biết đến như thời điểm thứ n của thời điểm đầu tiên
X, tất nhiên, chỉ là giá trị trung bình . Thời điểm thứ hai hoặc được
gọi là giá trị trung bình vuông, để phân biệt với bình phương trung bình . Viết ra
Eq. (3) với , ta có:
hoặc, cho một RV rời rạc,
Giá trị trung bình vuông sẽ được đặc biệt quan trọng khi chúng tôi nhận được tín hiệu ngẫu nhiên và tiếng ồn.
Giống như thời gian trung bình, kỳ vọng trong biểu thức. (3) là một hoạt động tuyến tính. Vì vậy, nếu một và là hằng số và nếu g(X) = x + , sau đó
[4]
Mặc dù kết quả này có vẻ tầm thường, nó dẫn đến các mối quan hệ không rõ ràng
vì X là một bên trong liên tục
Độ lệch chuẩn và bất bình đẳng của Chebyshev’s
Độ lệch chuẩn của X, ký hiệu là , cung cấp một thước đo của sự lây lan của các giá trị quan sát của X so với . Vuông của độ lệch chuẩn được gọi là phương sai, hoặc thời điểm trung tâm thứ hai, được xác định bởi
[5]
Tuy nhiên, một biểu thức thuận tiện hơn cho độ lệch chuẩn nổi lên khi chúng tôi mở rộng và gọi Eq. (4), do đó,
Và
[6] Do đó, độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai của giá trị trung bình vuông trừ đi giá trị trung bình bình phương.
Giải thích một, chúng ta k được bất kỳ số tích cực và xem xét các sự kiện
. Chebyshev’s của bất bình đẳng (cũng được đánh vần Tchebycheff) nói rằng
[7a]
bất kểp xX( )). Như vậy, xác suất quan sát bất kỳ RV bên ngoài±ktiêu chuẩn độ lệch của trung bình của nó là không lớn hơn 11k2
Tương tự như vậy
2( X X) 1 1/ ( X X) 1 1/