Việc tung đồng xu cũng như các trò chơi may rủi khác, là lĩnh vực hấp dẫn cho công việc tính toán xác suất. Nhưng các công nghệ truyền thông có liên quan lớn tới các quá trình ngẫu nhiên tạo ra các tín hiệu số ở đầu ra. như giá trị tức thời của một điện áp nhiễu, số lỗi trong một tin số… Ta giải quyết các vấn đề đó bằng cách định nghĩa một biến ngẫu nhiên thích hợp kí hiệu là RV…
Không như cái tên của nó, biến ngẫu nhiên không phải là ngẫu nhiên cũng không là một biến, thay vào đó nó biến ngẫu nhiên có thể được xem là một hàm mà kết quả bằng số của việc thực hiện một thực nghiệm không đơn định để tạo ra một kết quả ngẫu nhiên, cụ thể:
Một biến ngẫu nhiên là một quy luật hay mối liên hệ kí hiệu là X để ánh xạ một số thực X(S) tới mỗi điểm trong không gian mẫu S
Hầu như bất kỳ mối liên hệ nào cũng có thể coi như là một biến ngẫu nhiên, X là thực và có giá trị duy nhất:
P(X = -∞) = P(X= ∞) = 0
Thuộc tính quan trọng đó là sơ đồ ánh xạ X lên S kéo dài trên trục số thực từ -∞ < x < ∞ (Sẽ phức tạp hơn nếu là số phức)
Ta sẽ phân biệt giữa các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, để xác định các hàm xác suất cho việc phân tích các sự kiện ngẫu nhiên.
Biến ngẫu nhiên rời rạc và CDFs
Nếu S chứa một số lượng đếm được các điểm mẫu, khi đó X sẽ là một ánh xạ rời rạc đến một số lượng đếm được giá trị phân biệt. Hình 8,2-1 mô tả quá trình lập sơ đồ tương ứng và đặt x1 <x2 <. . . cho các giá trị của X(s) theo thứ tự tăng dần. Mỗi ánh xạ cho một kết quả duy nhất, nhưng hai hoặc nhiều ánh xạ có thể cho cùng một kết quả.
Mặc dù sơ đồ mối liên hệ là nền tảng của phép ánh xạ nhưng chúng ta thường chỉ quan tâm tới kết quả của chúng. Do đó chúng ta sẽ có một cái nhìn trực tiếp với X như kí hiệu nó là kết quả của các phép thử ngẫu nhiên, cách nhìn này giúp ta có thể xử lí các sự kiện có giá trị số như X=a hoặc X<a, như một số điểm trên trục thực. Hơn nữa, nếu ta gán hằng số a bằng biến ngẫu nhiên độc lập x, ta sẽ có hàm xác suất giúp chúng ta tính được xác suất của các giá trị số.
Hàm xác suất P(X≤x) được gọi là hàm phân phối tích lũy hay (CDF), ký hiệu là
Đặc biệt chú ý tới các ký hiệu ở đây, chỉ số dưới X được định nghĩa là một biến ngẫu nhiên để xác định hàm FX(x),mặc dù x định nghĩa biến cố X ≤ x nhưng x không phải là một biến ngẫu nhiên. Do CDF đặc trưng cho hàm xác suất, nó được giới hạn bởi:
Với các giá trị biên
Giới hạn dưới đặt ra điều kiện P (X = -∞) = 0, trong khi giới hạn trên nói rằng X luôn rơi ở một nơi nào đó trên trục số thực. Các biến cố đối lập X≤x và X>x nằm toàn bộ trên trục số thực, do đó:
Một số tính chất của hàm phân phối tích lũy sẽ đươc nhắc đến sau.
Sơ đồ 8.2-1: Ánh xạ các biến cố tới các số trên trục số thực
( ) ( ) X F x @P X ≤x ( ) ( ) (1) X F x @P X ≤x 0≤F xX( ) 1≤ 0≤F xX( ) 1≤ (2 )a ( ) 0 ( ) 1 (2 ) X X F −∞ = F +∞ = b ( ) 1 X( ) (3) P X >x = −F x
X≤a a<X≤b b<X
a b
Sơ đồ 8.2-2: Giá trị xác suất của các biến cố phủ trên trục số
Giả sử ta biết FX(x) và ta muốn tìm xác suất của sự kiện a <X <b. Hình 8,2-2 minh họa mối quan hệ của sự kiện này đến các sự kiện X ≤ a và X > b. Đồng thời cũng chỉ ra sự khác nhau giữa tính đóng và tính mở. Rõ hơn, khi b > a ta có:
Thay P(X≤a)=FX(a) và P(X>b)=1-FX(b) ta được kết quả như mong muốn:
Ngoài việc là một mối quan hệ quan trọng theo đúng nghĩa của nó, công thức (4) còn chỉ ra rằng FX(x) có tính không giảm FX(b) ≤ FX(a) với b > a bất kỳ. Hơn nữa, Fx (x) liên tục với nghĩa rằng nếu ϵ > 0 thì FX(x + ϵ) + FX(x) như ϵ + 0
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một thực tế rằng biến ngẫu nhiên rời rạc được giới hạn bởi các giá trị x1, x2… Điều kiện này có nghĩa là các kết quả có thể X=xi tạo thành một tập các biến cố độc lập với nhau từng đôi một. Do đó chúng ta có thể viết như sau:
mà chúng ta gọi là hàm tần suất. Khi các xi độc lập lẫn nhau thì ta có xác suất của biến cố X ≤ xk được tính bằng tổng:
Do đó hàm phân phối tích lũy được suy ra như sau:
Cho thấy FX(x) như một cái thang với mỗi bước là chiều cao của PX(x) với mỗi x = xi. Nó bắt đầu ở FX(x) = 0 và cuối cùng đạt đến FX(x) = 1. Giữa các bước, khi mà xk < x < xk+1, hàm phân phối mật độ xác suất được tính bằng FX(xk).
( ) ( ) ( ) ( ) 1 P X ≤ +a P a X< ≤ +b P X > =b P X ≤ ∞ = ( ) X( ) X( ) (4) P a X< ≤ =b F b −F a b a> ( ) ( ) 1, 2... X i i P xX( )i @P X( =xi) i=1, 2... (5) P x @P X =x i= 1 2 ( k) X( ) X( ) ... ( )X k P X ≤x =P x +P x + P x 1 ( ) k ( ) (6) X k x i i F x P x = =∑
BÀI TẬP 8.2-1: Truyền một tín hiệu có 3 từ mã qua một kênh có nhiễu. Tỉ lệ nhiễu của kênh là P(E) = 2/5 =0.4 trên một từ mã và lỗi được coi là độc lập từ một từ mã này đến từ mã kia, khi đó xác suất để nhận được một từ mã đúng sẽ là
Hãy xem xét thử nghiệm truyền tải một tin ba chữ số trên một kênh có nhiễu. Kênh có xác suất lỗi P(E) = 2/5 = 0.4 cho mỗi chữ số, và các lỗi thống kê độc lập từ chữ số, do đó, xác suất nhận được một từ mã chính xác là
P(C) = 1 - 215 = 315 = 0.6. Chúng tôi sẽ mất X là số lỗi trong một
tin nhận được, và chúng ta sẽ tìm thấy tần số chức năng tương ứng và CDF. Không gian mẫu cho thử nghiệm này bao gồm 8 mô hình lỗi riêng biệt,giống như đuôi đầu chuỗi trở lại trong hình. 8.1-1. Nhưng bây giờ những điểm lấy mẫu không phải là đều có khả năng kể từ mô hình lỗi có P (CCC) = P (C) P (C) P (C) = (3/5) 3 = 0,216, trong khi các mô hình tất cả các lỗi có P (EEE) = (2/5)3 = 0,064. Tương tự như vậy, mỗi ba mô hình với một lỗi có xác suất (215) x (3/5)2 và mỗi một trong ba mô hình với hai lỗi có xác suất (215)2 x (315). Hơn nữa, mặc dù có 8 điểm trong S, Biến ngẫu nhiên X chỉ có 4 giá trị có thể, cụ thể là, Xi = 0, 1, 2, và 3 lỗi.
Hình 8.2-3a cho thấy là không gian mẫu, lập bản đồ cho X, và kết quả giá trị của PX (xi). Các giá trị của FX (xi) sau đó tính toán thông qua
X
F (0) = PX (0) FX (1) = PX (0) + PX (1)
và phù hợp với phương trình. (6). Tần số chức năng và CDF được vẽ trong hình. 8.2-3b. Chúng ta thấy từ các lô CDF rằng xác suất ít hơn hai lỗi
X
F (2-ε ) = FX (1) = 81/125 = 0.648 và khả năng của nhiều hơn một lỗi là 1 - FX (1) = 44/125 = 0.352
Hãy để một biến ngẫu nhiên được định nghĩa cho các thử nghiệm ở bài tập 8.1-1 (tr. 317)
BÀI TẬP 8.2-1: Cho các nguyên tắc sau: Các màu sắc được chỉ định các trọng số G = 2, R = - 1, Y = 0, và X được lấy là mức trung bình của các trọng quan sát thấy trên một thử nghiệm nhất định của 2 spins.
Ví dụ, kết quả RY bản đồ vào giá trị X (RY) = (-1 + 0) / 2 =-0,5. Tìm P xX( )i và F xX( )i . Sau đó tính toán P (- 1,0 <X ≤ 1,0).
Một biến ngẫu nhiên liên tục có thể lên bất kì giá trị nào trong một phạm vi nhất định của đường thực sự chứ không phải là bị hạn chế ở một số đếm được của các điểm khác biệt. Ví dụ, bạn có thể quay một con trỏ và đo góc cuối cùng 8. Nếu bạn X (θ) = tan2 0, được hiển thị trong hình 8.2-4, sau đó tất cả các giá trị trong khoảng 0≤ < ∞X là một kết quả
có thể của thử nghiệm này. Hoặc bạn có thể lấy X (θ) = cos 8, có giá trị rơi vào phạm vi
1.0 X 1.0
− ≤ ≤
Kể từ khi một biến ngẫu nhiên liên tục có vô số các giá trị có thể, cơ hội quan sát X = phải được vanishingly nhỏ trong ý nghĩa P (X = a) = 0 cho bất kỳ cụ thể a. Do đó, chức năng tần số không có ý nghĩa cho những biến ngẫu nhiên lien tục ( RVs). Tuy nhiên, các sự kiện như X ≤a và a X b< ≤ có thể có khác không xác suất, và F xX( )i vẫn cung cấp thông tin hữu ích. Thật vậy, các tài sản nêu trước khi phương trình (1) - (4) vẫn còn hiệu lực cho CDF của một biến ngẫu nhiên liên tục.
(b)
Hình 8.2-3 (a) Biểu đồ cho Ví dụ 8.2-1. (b) CDF cho biến ngẫu nhiên rời rạc trong Ví dụ 8,2-1.
Hình 8,2-4 Sơ đồ cho bởi một RV liên tục
Nhưng một mô tả của một biến ngẫu nhiên liên tục phổ biến hơn là mật độ xác suất chức năng (hoặc PDF), được xác định bởi
( ) ( ) /
X X