BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các véc tơ: a=(2;3),b=(−2;5),c=(−2;−5). a) Tìm tọa độ của các véc tơ sau:

.3 3 ) ( 2 ; 4 3 ; 3 2b c v a b c w a b c a u= + − =− + + = − + b) Tim các số p và q thỏa mãn c= pa+qb. 2. Cho ba điểm A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2). a) CMR: ∃∆ABC.

b) Tính chu vi và diện tích của ∆ABC. c) Tìm điểm I sao cho: IA+2IB−3IC=0.

d) Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

∆ABC.

e) Viết phương trình các đường cao, trung tuyến của ∆ABC.

g) Viết phương trình các đường phân giác trong, phân giác ngoài của ∆ABC. 3. Cho điểm M(2; 5). Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d có phương trình: 2x – y + 4 = 0.

4. Giả sử điêm M(x; y). Tìm tọa độ của: a) Điểm M1 đối xứng với M qua Ox. b Điểm M2 đối xứng với M qua Oy

c Điểm M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ.

d Điểm M4 đối xứng với M qua đường thẳng y = x.

5. Viết phương trình đường thằng trong mỗi trường hợp sau :

a) Đi qua điểm M(-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho ∆OAB vuông cân.

b) Đi qua điểm M(-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.

6. Hai cạnh của một hình bình hành ABCD có phương trình: x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Đỉnh C(4; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại.

7. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 5) và cách đề hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4).

8. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x + 3y +15 = 0, x – 12y + 3 = 0 và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Đi qua điểm (2; 0).

b) Vuông góc với đường thẳng x – y – 100 = 0. c) Song song với đường thẳng 5x – 4y – 1 = 0.

9. Viết phương trình của đường thẳng ∆’ đối xứng với đường thẳng (∆): x + 2y – 2 = 0 qua M(2; 5).

10. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng: a) 3x – 2y -5 = 0 và 3x – 2y + 7 = 0.

b) 4x + y – 1 = 0 và 3x – y + 1 = 0.

11.Cho đường thẳng ∆: x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0). a) CMR: Hai điểm O và A nằm về cùng phía đối với đường thẳng ∆. b) Tìm điểm O’ đối xứng với O qua A.

c) Tìm điểm M ∈∆ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất. 12. a) Cho hai đường thẳng có phương trình

   + − = − = ∆    − − = + = ∆ t y t x t y t x 4 5 3 : ) ( ; 2 2 3 1 : )

( _{1 2} Chuyển phương trình của các

đường thẳng trên về dạng tổng quát.

b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: (∆1): 4x +5y + 6 = 0; (∆2): 2x – 3y + 3 = 0. 13. Cho ∆ABC đỉnh A(-1; -3).

a) Cho biết hai đường cao: BH: 5x + 3y –25 = 0 CK: 3x + 8y – 12 = 0 Hãy xác định tọa độ của các đỉnh B và C.

b) Xác định tọa độ các đỉnh B, C nếu đường trung trực của AB là d: 3x + 2y – 4 = 0 và tọa độ trọng tâm G(4; -2). (ĐH Cần thơ - 1998)

14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc, cho ∆ABC có đỉnh A(-1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng d: y = x, phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng d’: x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình cạnh BC.

(ĐH Kiến trúc Hà nội - 1998)

15. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - y + 2 = 0 sao cho ∆ABC vuông tại C, biết A(1; -2); B(-3; 3). (ĐH Luật Hà nội - 1998)

16. Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC; BAD^∧ =300. Biết

b AD a

AB= , = . Hãy biểu diễn các véc tơ BC, CD, AC, BD theo các véc tơ a, b.

17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆OAB.

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB.

(ĐH Mỹ thuật công nghiệp Hà nội - 1998)

18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho, ∆ABC có trọng tâm G(-2; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 = 0 và AC: 2x + 5y + 3 = 0.

a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC.

b) Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC.

(ĐHQG TP. Hồ Chí Minh - 1998)

19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 6), B(4; 0), C(3; 0), một đường thẳng (∆): y = m di động cắt AB và AC lần lượt tại M và N, gọi các hình chiếu của M, N trên trục Ox là P, Q gọi H, E là trung điểm của AO, BC; ký hiệu I là tâm của hình chữ nhật MNQP.

a) CMR: H, E, I thẳng hàng.

b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. c) Xác định điểm T ∈ AC sao cho OT ⊥ BT.

(ĐH Thái nguyên - 1998)

20. Cho ba điểm A(-3; 4); B(-5; -1); C(4; 3) trong hệ trục tọa độ Oxy.

a) Tính độ dài AB, BC, CA. Hãy cho biết tính chất (nhọn, tù, vuông) của ∆ABC.

b) Tính độ dài đường cao AH và viết phương trình đường thẳng AH.

(ĐH Cần thơ - 1999)

21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông đỉnh A(0; 5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng y – 2x = 0. Tìm tọa độ tâm hình vuông và tọa độ của các đỉnh còn lại. (ĐH Đà lạt - 1999)

22. Cho ∆ABC có đỉnh A(2; -1) và phương trình các đường cao là:

2x – y + 1 = 0 và 3x + y + 2 = 0. Lập phương trình trung tuyến qua đỉnh A

của ∆ABC. (ĐH Hàng hải -

1999)

23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC với các đỉnh A(-6; -3); B(-4; 3) a) Viết phương trình đường thẳng d chứa phân giác trong của góc A. b) Tìm điểm P ∈ d sao cho tứ giác ABCD là hình thang.

(ĐH Sư phạm Hà nội 2 - 1999)

24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, trong đó A(1; 3); B(4; -1).

a) Biết rằng AD // Ox và đỉnh D có hoành độ âm. Tìm tọa độ của C, D b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD.

(ĐH An giang - 2000)

25. Cho ∆ABC có A(2; -1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là: dB: x - 2y + 1 = 0, dC: x + y + 3 = 0.

Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. (ĐH Thương mại - 2000)

26. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR:

a) AB⊥CD ⇔ AB2 + BD2 = AD2 + BC2. b) AB⊥CD và AD⊥BC thì AC ⊥BD

27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng d có phương trình d: 4x + 3y - 12 = 0.

a) Gọi B và C là giao điểm của d với Ox, Oy. Xác định trực tâm

∆ABC.

b) Điểm M chạy trên d, trên nửa đường thẳng đi qua A và M, lấy điểm N sao cho AM.AN =4. Điểm N chạy trên đường cong nào? Viết phương trình

đường cong đó. (ĐH Nông nghiệp I - 2001)

28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có: A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1). a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

b) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho SABM SABC

31 1

= _.

(ĐH Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh - 2001)

29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2,5; 2) và hai đường thẳng có phương trình: y = 0,5x và y = 2x. Lập phương trình đường thẳn d đi qua M và cắt hai đường thẳng trên tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

(ĐH Hàng hải - 2001)

30. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox, Oy đồng thời đi qua điểm M(2; 1).

31 Cho phương trình: x2 + y2 - 4x + 8y – 5 = 0 (C).

a) CMR: (C) là phương trình của một đường tròn mà ta phải xác định tâm và bán kính.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua điểm A(-1; 0). c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) đi qua điểm B(3; -1). d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0.

e) Tìm điều kiện của m để đường thẳng (dm): x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C).

32. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: (C): x2 + y2 = 1 và (C’): (x – 8)2 + (y – 6)2 = 16.

33. Cho phương trình của họ đường cong (Cm): x2 + y2 – 2(m – 1)x – 4my + 3m + 11 = 0. a) Với giá trị nào của m thì (Cm) là một đường tròn?

b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C3) ứng với m = 3. c) Tìm tập hợp tâm của các đường tròn (Cm).

34. Cho phương trình 2 họ đường tròn (Cm):x2 + y2 – 2mx + 2(m + 1)y - 1=0 và (C’m): x2 + y2 – x + (m – 1)y + 3 = 0. CMR: tập hợp những điểm có cùng phương tích đối với cả hai đường tròn trên là một đường thẳng khi m thay đổi. đồng thời CMR: đường thẳng đó luôn đi qua một điểm cố định.

35. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm       2 9 ; 2 1 A và đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0.

a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C). b) CMR: điểm A ở trong đường tròn (C).

c) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung đi qua A sao cho độ dài dây cung ngắn nhất.

36. Cho hai đường thẳng (d): mx + y – m = 0 và (∆): x – my + 1 = 0. CMR: tập hợp các giao điểm của (d) và (∆) khi m thay đổi là một đường tròn mà ta phải tìm tâm và bán kính.

37. Cho đường thẳng (d): (m2 – 1)x + 2my + 3(m2 + 1) = 0. CMR: khi m thay đổi đường thẳng (d) luôn luôn tiếp xúc với một dtròn cố định mà ta phải tìm tâm và bán kính.

38. Cho phương trình: x2 + y2 – 2mx – 2(m – 1)y = 0 (Cm).

a) CMR: ∀m (Cm) đều là phương trình của một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm).

c) CMR: các đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định.

d) Tìm m để đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d) : x + y – 1 = 0. 39. Cho các đường tròn (C) và (Cm) có phương trình lần lượt là: x2 + y2 – 1 = 0 và x2 + y2 +2(m– 1)x – 4my - 5 = 0.

a) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đổi.

b) CMR: có hai đường tròn (C1) và (C2) trong số các đường tròn (Cm) tiếp xúc với (C).

c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

40. Cho hai điểm A(6; 1), (9; 4) và đường thẳng (∆): x – y – 2 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và có tâm nằm trên đường thẳng (∆).

41. Cho hai đường tròn có phương trình là (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 – 13 = 0 và (C’): (x + 3)2 + (y – 1)2 – 36 = 0.

a) CMR: (C) và (C’) cắt nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung chung. c) Tính độ dài đoạn dây cung chung.

42. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng:

a) Tiếp tuyến đó có hệ số góc . 4 3 =

k

b) Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-2; 2).

43. a) Cho đường tròn (C): x2 + y2 = a2 và điểm M(x0; y0) ∈ (C). CMR: tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình x0x + y0y – a2 = 0.

b) Cho đường tròn (C): (x – a)2 + (y – b)2 = a2 và điểm M(x0; y0) ∈ (C). CMR: tiếp tuyến của (C) tại M có p.trình (x0 – a)(x – a) + (y0 – b)(y – b)2 – a2 = 0.

44. Lập phương trình chính tắc của elíp (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự ằng 6.

b) Một tiêu điểm là F₁

(

)

M ∈ (E).

45. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục thực bằng 8 và tiêu cự bằng 10.

b) Tiêu cự ằng 20 và một tiệm cận có phương trình: 4x – 3y = 0. 46. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tiêu điểm là (2; 0). b) Đường chuẩn là x + 3 = 0.

47. Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ elíp (E) có phương trình: 1. 9 25 2 2 = + ^y x

48. Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ hypebol (H) có phương trình: 1. 9 16 2 2 = − ^y x

49. Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau: a) y2 = 8x (P1) b) y2 + 4x = 0 (P2)

50. Cho các đường tròn C1(O1; R1), C2(O2; R2), (C1) chứa trong (C2) và O1 ≠

O2 Gọi M là tâm của đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc trong với (C2) và tiếp xúc ngoài với (C1). CMR: M di động trên một elíp.

51. Cho điểm A cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua A. M là điểm di động sao cho ∀m > 0, đường tròn C(M, m) luôn tiếp xúc với ∆ và đường tròn C’(M, 2m) luôn đo qua A. CMR: M di động trên một hypeol.

52. Cho điểm A cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua A. Xét các đường tròn (C) thay đổi có tâm M, biết rằng (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với

∆. CMR: M di động trên một parabol. 53. Cho elíp 1 9 16 : ) ( 2 2 = + ^y x

E và điểm I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng

∆ đi qua I biết rằng ∆ cắt elíp tại hai điểm A, B với I là trung điểm của AB. 54. Cho điểm M(x; y) với y b t

t a x , tan cos = = _{, tham số t} ≠ ^π +kπ 2 , k ∈ Z. Tìm quỹ tích các điểm M.

55. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A1(-a; 0), A2(a; 0). Gọi (C) là đường tròn thay đổi đi qua A1, A2; đường kính MM’ của (C) luôn song song với Ox. Tìm quỹ tích các điểm M, M’.

56. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn chắn trên hai trục Ox và Oy hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2a và 2b.

57. CMR: tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên hypebol đến hai đường tiệm cận là một số không đổi.

58. Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). CMR: nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn.

59. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d1): 3x + 4y + 5 = 0 và (d2) : 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (∆): x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) và (d2).

60. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường cônic có phương trình chính tắc: . 2 : ) ( , 1 : ) ( , 1 : ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 px y P b y a x H b y a x

E + = − = = và điểm M0(x0; y0) thuộc cônic. CMR:a) Tiếp uyến của (E) tại M0(x0; y0) có dạng: 0₂ 1.

20 + = 0 + = b y y a x x

b) Tiếp uyến của (H) tại M0(x0; y0) có dạng: 0₂ 1.

20 − = 0 − = b y y a x x

c) Tiếp uyến của (P) tại M0(x0; y0) có dạng: y₀y= p(x₀+x).

61. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 và ba đường cônic ( ): 1, ( ): 1, ( ): 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 px y P b y a x H b y a x E + = − = = CMR:

a) (∆) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi a2A2 + b2B2 = C2. b) (∆) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi a2A2 - b2B2 = C2. c) (∆) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi pB2 = 2AC. 62. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elíp ₂ 1

22 2 2 = + b y a x

(0 < b < a) với hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0). Một điểm M di động trên (E) sao cho 

     ∈ = Λ 2 ; 0 2 π α M F x

a) Tính F2M theo a, b và α.

b) Đường thẳng F2M cắt (E) tại điểm thứ hai M’. CMR: ^{1 1} _'

2

2M FM