Trong Chương 3, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:
.
- Trình bày khái niệm f-độ cong trung bình, biến phân thứ nhất và biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích.
- Chứng minh rằng một đa tạp con được định cỡ bởi một f-dạng cỡ là cực tiểu f-diện tích trong lớp đồng điều của nó.
- Xây dựng một chứng minh ngắn gọn cho định lý kiểu Bernstein trong không gian Gauss.
- Đưa ra tham số của mặt kẻ trụ f-cực tiểu trong không gian G2×R. - Sử dụng nguyên lý dạng cỡ chứng minh định lý kiểu Bernstein trên không
gian Gn×R mà nó không sử dụng đến đạo hàm cấp hai.
- Xây dựng khái niệm f-cực tiểu cho mặt 2-chiều trong không gian với mật độ. Chứng minh một định lý kiểu Bernstein đơn giản trong không gian G2 ×Rn−2, với n ≥ 3.
KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
1 Kết luận chung
Luận án đã đạt được các kết quả chính sau:
.
- Chứng minh được Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hằng số (Định lý 2.4.7).
- Đưa ra được một phân loại triệt để các đường cóf-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính (Định lý 2.5.3).
- Chỉ ra rằng một đường cong có f-vectơ vận tốc hằng và f-trắc địa khi và chỉ khi nó là điểm cực tiểu của f-phiếm hàm năng lượng (Mệnh đề 2.6.6). - Phát biểu và chứng minh được định lý kiểu Bernstein cho đồ thị f-cực
tiểu toàn phần trong không gian Gn×R (Định lý 3.4.5.3).
2 Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo Trong thời gian tới, chúng tôi dự định nghiên cứu tiếp các vấn đề sau:
.
- Nghiên cứu lý thuyết đường trên mặt phẳng Minkowski;
- Xây dựng các định lý kiểu Bernstein cho mặt đối chiều cao trong không gian với mật độ;
- Xây dựng các định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu Liouville trên đa tạp với mật độ tổng quát.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN
1. Hieu D. T. and Nam T. L. (2008), "On the four vertex theorem in planes with radial density eϕ(r)", Colloquium Mathematicum, 113, 169-174.
2. Binh N. D. and Nam T. L. (2013), "Some results on geodesic curves in man- ifolds with density", East-West Journal of Mathematics, 15 (2), 170-181. 3. Hieu D. T. and Nam T. L. (2014), "The classification of constant weighted
curvature curves in the plane with a log-linear density", Communications on Pure and Applied Analysis, 13, 1641-1652.
4. Hieu D. T. and Nam T. L. (2014), "Bernstein type theorem for entire weighted minimal graphs in Gn×R", Journal of Geometry and Physics, 81, 87-91. 5. Nam T. L. (2014), "Some results on curves in plane with a log-linear density",
Southeast Asian Bulletin of Mathematics, accepted.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: 1. Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên, năm 2011.
2. Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, năm 2013.
3. Seminar của bộ môn Hình học - Tôpô thuộc khoa Sư phạm Toán học, trường Đại học Vinh.
4. Seminar của bộ môn Hình học - Đại số thuộc khoa Toán học, trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Aarons M. A. S. (2006), "Mean curvature flow with a forcing term in Minkowski space", Calc. Var. Partial Differential Equations,25, 205–246. 2. Axler S., Bourdon P. and Ramey W. (2001), Harmonic Function Theory,
Springer-Verlag New York.
3. Bakry D. and Émery M. (1985), Diffusions hypercontractive, Séminaire de Probabilités XIX 1983/4, Lecture Notes Math., vol.1123,Springer-Verlag, 177-206.
4. Bayle V. (2004), Propriétés de concavité du profil isopérimétrique et applica- tiones, graduate thesis, Institut Fourier, Univ. Joseph-Fourier, Grenoble I. 5. Binh N. D. - Nam T. L. (2013), "Some results on geodesic curves in manifolds
with density", East-West Journal of Mathematics, 15 (2), 170-181.
6. Bobkov S. G. and Houdré C. (1997), Some connections between isoperimetric and Sobolev-type inequalities,616, Memoirs of the American Mathematical Society.
7. Borell C. (1975), "The Brunn-Minkowski inequality in Gauss space", Invent. Math., 30, 207-216.
8. Brighton K. (2013), "A Liouville-type theorem for smooth metric measure spaces", J. Geom. Anal, 23 (2), 562-570.
9. Carmo M. P. D. (1976),Differential geometry of curves and surfaces, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, NJ.
10. Carlen E. A. and Kerce C. (2001), "On the cases of equality in Bobkov’s inequality and Gaussian rearrangmement", Calc. Var., 13, 1-18.
11. César R., Antonio C., Vincent B. and Morgan F. (2008), "On the isoperimetric problem in Eulidean space with density", Calc. Var. PDE, 31, 27-46. 12. Carroll C., Jacob A., Quinn C. and Walters R. (2008), "The Isoperimetric
Problem on Planes with Density", Bull. Austral. Math. Soc., 78, 177-197. 13. Cheng X., Mejia T. and Zhou D. T., Stability and compactness for complete
f-minimal surfaces, arxiv: 1210.8076.
15. Coifman R. R. and Weiss G. (1977), Extensions of Hardy Spaces and their use in analysis, Bull. Amer. Math. Soc. 83, 569-645.
16. Colding T. H. and Minicozzi II W. P. (2004), "Sharp estimates for mean curvature flow of graphs", J. Reine Angew. Math., 574, 187-195.
17. Colding T. H. and Minicozzi II W. P. (2011), A course in minimal surface, Graduate Studies in Mathematics, 121, American Mathematical Society. 18. Colding T. H. and Minicozzi II W. P. (2012), "Smooth compactness of self- shrinkers", Comment. Math. Helv., 87, 463-475, DOI 10.4171/CMH/260. 19. Colding T. H. and Minicozzi II W. P. (2012), "Generic mean curvature flow
I: generic singularities", Ann. of Math, 175 (2), 755-833.
20. Corwin I. and Morgan F. (2011), "The Gauss-Bonnet formula on surfaces with densities", Involve, 4 (2), 199-202.
21. Csikós B. (2014), Differential geometry, Lecture Notes and Workbooks for Teaching Undergraduate Mathematics, E¨ot¨os Loránd University.
22. Dekelnick K., Elliott C. M. and Richardson G. (1997), "Long time asymp- totics for forced curvature flow with applications to the motion of a su- perconducting vortex", Nonlinearity, 10, 655-678.
23. Ecker K. and Huisken G.(1989), "Mean curvature evolution of entire graphs", Ann. of Math., 3 (2), 453-471.
24. Ecker K. and Huisken G. (1991), "Parabolic methods for the construction of spacelike slices of prescribed mean curvature in cosmological spacetimes", Comm. Math. Phys, 135 (3), 595-613.
25. Espinar J. M. and Rosenberg H. (2011), "Complete constant mean curvature surfaces in homogeneous spaces", Comment. Math. Helv, 86 (3), 659-674. 26. Elizabeth A., Ivan C., Diana D., Michelle L. and Regina V. (2007), "Isoperi- metric regions in sectors of Gauss space", Rose-Hulman, Undergraduate Mathematics Journal, 8 (1), 1-28.
27. Gage M. and Hamilton R. S. (1986), "The heat equation shrinking convex plane curves", J. Differential Geometry, 23, 69-96.
28. Grayson M. A. (1987), "The heat equation shrinks embedded plane curves to round points", J. Differential Geometry, 26, 285-314.
29. Gromov M. (1986), "Isoperimetric inequalities in Riemannian manifolds", Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces, Lecture Notes Math., 1200, Appendix I, 114-129, Berlin: Springer-Verlag.
30. Gromov M. (2003), "Isoperimetric of waist and concentration of maps",Geom. Func. Anal, 13, 178-215.
31. Hieu D. T. and Nam T. L. (2008), "On the four vertex theorem in planes with radial density eϕ(r)", Colloquium Mathematicum, 113, 169-174. 32. Hieu D. T. and Hoang N. M. (2009), "Ruled minimal surfaces in R3 with
density ez", Pacific Journal of Mathematics, 243 (2), 277-285. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
33. Hieu D. T. (2011), "Some calibrated surfaces in manifolds with density", Journal of Geometry and Physics, 61, 1625-1629.
34. Hieu D. T. - Nam T. L. (2014), "The classification of constant weighted curvature curves in the plane with a log-linear density", Communications on Pure and Applied Analysis, 13, 1641-1652.
35. Hieu D. T. - Nam T. L. (2014), "Bernstein type theorem for entire weighted minimal graphs in Gn×R", Journal of Geometry and Physics, 81, 89-91. 36. Huang G., Zhang C. and Zhang J. (2011), "Liouville type theorem for the
drifting Laplacian operator", Arch. Math. (Basel), 96 (4), 379 - 385. 37. Huisken G. and Sinestrari C. (1999), "Mean curvature flow singularities for
mean convex surfaces", Calc. Var. PDE, 8 (1), 1-14.
38. Huisken G. and Sinestrari C. (1999), "Convexity estimates for mean curvature flow and singularities of mean convex surfaces",Acta Math,183(1), 45-70. 39. Ivan C., Stephanie H., Vojislav Ă. and Xu Y. (2004), Double bubbles in Gauss space and highdimensional spheres, and differential geometry of manifolds with density, Geometry Group report, Williams College.
40. Ivan C., Neil H., Stephanie H., Vojislav Ă. and Xu Y. (2006), "Differential geometry of manifolds with density", Rose-Hulman Und. Math., 7 (1), 12-29.
41. Jian H., Ju H., Liu Y. and Sun W. (2010), "Symmetry of translating solutions to mean curvature flows", Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed., Vol 30 (6), 2006-2016.
42. Jian H., Ju H., Liu Y. and Sun W. (2010), "Traveling fronts of curve flow with external force field", Commun. Pure Appl. Anal., 9 (4), 975-986.
43. Ju H., Lu J. and Jian H. (2010), "Translating solutions to mean curvature flow with a forcing term in Minkowski space", Commun. Pure Appl. Anal, 9 (4), 963-973.
44. Kapouleas N., Kleene S. J. and Møller N. M., Mean curvature self-shrinkers of high genus: Non-compact examples, arXiv:1106.5454.
45. Kleene S. J. and Møller N. M. (2014), "Self-shrinkers with a rotational sym- metry", Trans. Amer. Math. Soc, 366, no. 8, 3943–3963.
46. Li H. and Wei Y., Lower volume growth estimates for self-shrinkers of mean curvature flow, arXiv:1112.0828
47. Liu G. "Stable weighted minimal surfaces in manifolds with nonnegative Bakry-Emery tensor", to appear in Comm. Anal. Geom.
48. Morgan F. (2003), "Regularity of isoperimetric hypersurfaces in Riemannian manifolds", Trans. Amer. Math. Soc.,355, 5041-5052.
49. Morgan F. (2005), "Manifolds with density", Notices Amer. Math. Soc., 52, 853 - 858.
50. Morgan F. (2006), "Myers’ theorem with density", Kodai Math Journal, Vol 29 (3), 454-460.
51. Morgan F. (2008), Geometric Measure Theory, A Beginner’s Guide, Fourth edition, Academic Press.
52. Nam T. L. (2014), "Some results on curves in plane with a log-linear density", Southeast Asian Bulletin of Mathematics, accepted.
53. Ninomiya H. and Taniguchi M. (2000), "Traveling curved fronts of a mean curvature flow with constant driving force". Free boundary problems: the- ory and applications, I (Chiba, 1999), Gakuto Internat. Ser. Math. Sci. Appl., Gakkotosho, Tokyo, 13, 206-221.
54. Osserman R. (1986), A survey on minimal surfaces, Dover Publications Inc., Mineola, New York, second edition.
55. Ros A. (2005), The isoperimetric problem, Global Theory of Minimal Sur- faces, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
56. Varadarajan V. S. (2001), Lectures on symplectic Geometry, Spriger - Verlag - New York - Berlin - Heidelberg - Tokyo.
57. Wang L. (2011), "A Bernstein type theorem for self-similar shrinkers",Geom. Dedicata, 151, 297-303.