Cho Σ là một siêu mặt chính qui trong không gianGn×R, M là một điểm trênΣ và ký hiệuρlà phép chiếu trực giao lên trục Oxn+1. Bổ đề sau cho chúng ta ý nghĩa hình học của đại lượng h∇f,Ni.
3.4.1 Bổ đề. Trong không gian Gn×R,
|h∇f,Ni|= d ρ(M), TMΣ, ở đó h∇f,Ni được tính tại điểm M.
Chứng minh. Giả sửN(ai)là vectơ pháp đơn vị củaΣtạiM(xi). Khi đó, phương trình siêu phẳng tiếp xúc TMΣ có dạng n X i=1 aixi+d= 0. Kí hiệu M0 =ρ(M), chúng ta có d M0, TMΣ =|an+1xn+1+d|. Mặt khác, h∇f,Ni= (x1, . . . , xn,0),(a1, . . . , an, an+1) =|an+1xn+1+d|. Do đó, |h∇f,Ni|= d M0, TMΣ.
Từ Bổ đề 3.4.1, chúng ta có một số ví dụ đơn giản về các mặt f-độ cong trung bình hằng trong không gian Gn ×R.
.
1. Các siêu phẳng song song với trục Oz có f-độ cong là hằng số và các siêu phẳng chứa trục Oxn+1 là các siêu mặt f-cực tiểu;
2. Các siêu phẳng xn+1 =a, a∈R, là các siêu phẳng f-cực tiểu;
3. Các siêu trụ đứng quay quanh trục Oxn+1 có f-độ cong trung bình là hằng số. Siêu trụ đứng có bán kính 1 là mặt f-cực tiểu.
Khi n = 2, chúng ta được một họ mặt có f-độ cong trung bình hằng sau. 3.4.2 Ví dụ. Xét một biến dạng được xác định bởi một họ các mặt tham số cực tiểu
Xθ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v));
x(u, v) = cosθsinhvsinu+ sinθcoshvcosu, y(u, v) =−cosθsinhvcosu+ sinθcoshvsinu, z(u, v) =ucosθ+vsinθ,
ở đó −π < u < π, −∞< v < ∞ và tham số biến dạng −π < θ < π. Tính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng Xθ là một mặt cực tiểu với trường vectơ pháp
N = cosu coshv, sinu coshv,−sinhv coshv .
Do đó h∇f,Ni = sinθ. Mặt khác, ta biết rằng Xπ/2 là một catenoid và X0 là một helicoid. Từ đó, chúng ta có trong không gian G2×R.
.
1. Xθ có f-độ cong trung bình là 1 hằng số;
2. Helicoid X(u, v) = (sinhvsinu,−sinhvcosu, u) là mặt f-cực tiểu;
3. Catenoid X(u, v) = (coshvcosu,coshvsinu, v) có f-độ cong trung bình bằng 1.
Chúng ta xét các mặt kẻ trụf-cực tiểu Σ trong không gian G2×R. Giả sử, mặt Σ được tham số hóa bởi
X(u, v) =α(u) +va, (3.4.1) ở đó α là đường chuẩn và alà một vectơ hằng. Hơn nữa, chúng ta có thể giả sử đường chuẩn là phẳng và α0 trực giao với a.
Do dọc theo đường kẻ độ cong trung bình không đổi và ý nghĩa hình học của đại lượngh∇f,Ninên Σ là một mặtf-cực tiểu trong không gian G2×R khi và chỉ khi a hoặc song song với mặt phẳng Oxy hoặc song song với trục Oz.
Trường hợp a song song với mặt phẳng Oxy. Do phép quay quanh trục Oz không làm thay đổif-độ cong trung bình nên chúng ta có thể giả sửa= (1,0,0)
và α có tham số hóa địa phương dạng α(u) = 0, u, g(u). Do đó, mặt Σ trở thành f-cực tiểu khi và chỉ khi hàm g thỏa mãn phương trình
g00−ug0(1 +g02) = 0. (3.4.2)
Giải phương trình trên, chúng ta được
g(u) =± Z u u0 s c1et2 1−c1et2dt+c2, c1, c2 ∈R, c1 >0.
Trường hợp a song song với trục Oz. Chúng ta có thể giả sử a(0,0,1) và α nằm trong mặt phẳngOxy. Khi đó, vectơ pháp Ncủa Σtại điểm X(u,0)trùng với vectơ pháp n của α tại α(u). Do đó, chúng ta được
Hf(Σ) = 1
2kf(α).
3.4.3 Định lý. Trong không gian G2×R cho Σ là một mặt kẻ trụ có tham số dạng (3.4.1). Khi đó, Σ là f-cực tiểu khi và chỉ khi α là một đường f-trắc địa trên mặt phẳng G2 hoặc Σ có tham số hóa địa phương dạng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
X(u, v) = v, u,± Z u u0 s c1et2 1−c1et2dt+c2 , u0, c1, c2 ∈R, c1 >0. (3.4.3)
Hình 3.4.1: Mặt kẻ f-cực tiểu trong không gian G2×R
Tiếp theo, chúng ta xét định lý kiểu Bernstein trong không gian Gn ×R.
3.4.4 Tính cực tiểu của siêu phẳng trong Gn × (R, e−h)
Xét không gian Gn × (R, e−h) với mật độ tích e−(f+h). Một điểm trong Gn ×(R, e−h) có thể viết dưới dạng (x, xn+1), ở đó x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Phương trình của một siêu phẳng không song song với Oxn+1 trong không gian tích Gn ×(R, e−h) có dạng
n
X
i=1
aixi+xn+1+c = 0, c, a1, a2, . . . , an ∈R. (3.4.4)
Tính toán trực tiếp, chúng ta thấy rằng h∇(f +h),Ni= 0 khi và chỉ khi
n
X
i=1
aixi+h0(xn+1) = 0.
Do đó, chúng ta được
1. Một siêu phẳng là f-cực tiểu và song song hoặc trùng với siêu phẳng xn+1 = 0 khi và chỉ khi h0(−c) = 0.
2. Một siêu phẳng là f-cực tiểu và không song song với siêu phẳng xn+1 = 0
khi và chỉ khi h(xn+1) =x2n+1/2 +cxn+1+b, ở đó b∈R là một hằng số.
Nếu h là hàm đơn điệu thì siêu phẳng không thể trở thành f-cực tiểu và Định lý Bernstein không tồn tại trong trường hợp này. Chúng ta lại thấy rằng nếu siêu mặt Σ là f-cực tiểu trong không gian Gn+1 thì ảnh của Σ qua phép tịnh tiến theo vectơ ~v(0, . . . ,0,−c/2) là một siêu mặt f-cực tiểu trong không gianGn×(R, e−h) vớih(xn+1) =x2n+1/2 +cxn+1+b. Trong trường hợp này, định lý kiểu Bernstein đã được chứng minh ở Định lý 3.3.3.3. Ví dụ sau chỉ ra rằng trong G2×(R+, e−h), ở đó R+ ={x∈R :x≥ 0} và h(z) =z2−ln√
1 + 4z,tồn tại đồng thời mặt phẳng và mặt trụ parabol là các đồ thị toàn phần f-cực tiểu. Ví dụ. Xét đồ thị của hàm z = u(x, y) = x2 trên G2 trong không gian G2 ×
(R+, e−h). Tính toán trực tiếp, chúng ta có H(f+h) = 1 (1 + 4z)3/2 − 2z+h 0(z) 2√ 1 + 4z = 0. Hơn nữa, chúng ta kiểm tra được mặt phẳng z = (1 +√
17)/8 cũng f-cực tiểu. Chúng ta xét trường hợp h0(c) = 0 với mọi c ∈ R. Khi đó, h là một hàm hằng. Trong trường hợp này, sử dụng nguyên lý dạng cỡ theo mật độ, chúng tôi thu được một ước lượng chof-diện tích của một đồ thị toàn phần. Từ đó, chúng tôi đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý kiểu Bernstein mà nó không dùng đến đạo hàm cấp 2.
3.4.5 Định lý kiểu Bernstein trong không gian Gn × R
Với mỗi điểm p∈Rn+1 và số thực dương R, chúng ta ký hiệu
.
• Bn+1(p;R) là hình cầu (n+ 1)-chiều trong Gn ×R tâm p bán kính R;
• B+n+1 là nửa hình cầu trên của hình cầu Bn+1(p, R);
• Bn(p;R) là hình cầu n-chiều trong Gn tâm p bán kính R;
• Sn(p;R) là siêu mặt cầu (n+ 1)-chiều trong Gn×R tâm p bán kính R;
• Sn−1(p;R) là siêu mặt cầu n-chiều trong Gn tâm pbán kính R; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• S+n(p;R) là nửa siêu mặt cầu trên của siêu mặt cầu Sn(p, R).
Cho Σ là một đồ thị f-cực tiểu của hàm u(x1, . . . , xn) = xn+1 trên Gn. Gọi p là giao điểm của Σ và trục Oxn+1. Khi đó, chúng ta có ước lượng f-diện tích sau cho siêu mặt Σ.
3.4.5.1 Bổ đề.
Volf Σ∩Bn+1(p, R) ≤Volf Bn(O, R)+n(2π)−n/2e−R2CnRn, (3.4.5) ở đó Cn = VolBn(O,1).
Chứng minh. ĐặtΣeR := Σ∩Bn+1(p, R). Khi đó, theo Định lý 3.2.6, chúng ta có
Volf(ΣeR) ≤ 1
2VolfS
n(p, R). (3.4.6)
Do mật độ không phụ thuộc vào tọa độ cuối nên chúng ta được
1
2VolfS
n(p, R) = 1
2Volf(S
n(O, R)) = VolfS+n(O, R). (3.4.7)
Gọiη là dạng thể tích của S+n(O, R) tương ứng với vectơ pháp đơn vị được xác
O R Bn S+n B+n+1 R C
Hình 3.4.2: Siêu trụ C chứa nửa hình cầu B+n+1
định bởi đẳng thức (3.2.5). Thác triển của nó song song trục Oxn+1 trong hình trụ C := Bn(O, R) ×R vẫn được ký hiệu η. Áp dụng định lý Stokes với định hướng thích hợp, chúng ta được VolfS+n(O, R) = Z Sn +(O,R) e−fη (1) = Z Bn(O,R) e−fη+ Z Bn++1(O,R) d(e−fη) (2) ≤ Volf Bn(O, R)+ Z Bn(O,R)×[0,R] d(e−fη) (3) = Volf Bn(O, R)+ Z Sn−1(O,R)×[0,R] e−fη ≤ Volf Bn(O, R)+ (2π)−n/2e−R2/2Vol(Sn−1(O, R)×[0, R]) = Volf Bn(O, R)+n(2π)−n/2e−R2/2CnRn.
Đẳng thức (1) và (3) là sử dụng định lý Stokes, bất đẳng thức (2) là do |η| ≤1
và B+n+1(O, R) ⊂ C.
Lấy giới hạn cả 2 vế của bất đẳng thức (3.4.5) khi R dần ra vô cùng, chúng ta được hệ quả sau.
3.4.5.2 Hệ quả.
Volf (Σ)≤1. (3.4.8) 3.4.5.3 Định lý (Định lý kiểu Bernstein). Đồ thị Σ của một hàm khả vi u(x1, . . . , xn) =xn+1 trên Gn là f-cực tiểu trong không gian tích Gn ×R khi và chỉ khi nó là một siêu phẳng xn+1 =a, a ∈R, nghĩa là u là một hàm hằng.
Chứng minh. Rõ ràng, siêu phẳng xn+1 =a là f-cực tiểu trong không gian tích Gn × R. Ngược lại, giả sử rằng Σ là một siêu mặt f-cực tiểu. Chúng ta đặt dV = dx1∧dx2∧. . .∧dxn. Khi đó, Chúng ta có 1≥ Volf(Σ) = Z Gn e−fp1 +|∇u|2dV ≥ Z Gn e−fdV = Volf(Gn) = 1. Đẳng thức trên là thỏa mãn khi và chi khi ∇u = (0, . . . ,0), nghĩa là u là một
hàm hằng.