III. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt cầu:
Ứng dụng thể tích vào tìm khoảng cách:
Ta chỉ quan tâm đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Dùng công thứ:c , , 3 1 . , 3 chop chop dinh day day dinh day
day V
V d S d
S
Trong bài toán ta đã tính đƣợc thể tích khối chóp nên để tính khoảng cách từ điểm đên mặt phẳng ta chỉ cần tính đƣợc diện tích của mặt phẳng đáy tƣơng ứng.
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc đáy và SA=a. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giải: ( A B C S M Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) 3 . , 2 3. 3 3 2 2 2 S ABC A SBC SBC a V a d S a
Ta có SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)
Kẻ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC Và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa SM và AM SMA45o
Suy ra
tan 45o
SA
AM a
Tam giác ABC vuông cân tại A nên : 2 2 2 2 2 2 BC a BC AM a AB a Suy ra 1 . 2 2 ABC S AM BC a Vậy thể tích: 3 2 . 1 1 . . . 3 3 3 S ABC ABC a V SA S a a (dvtt) Khoảng cách: Ta có: . , , . 3 1 . . 3 S ABC S ABC A SBC SBC A SBC SBC V V d S d S Mà: 1. . 1. 2.2 2 2 2 2 SBC S SM BC a aa Do: SM2 SA2 AM2 2a2 SM a 2
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
Bài tập:
Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 3
2
a
hình chiếu vuông
góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD).
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC30o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
4. Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A‟ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A‟C và mặt đáy bằng 60o. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC‟A‟). 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
6. Cho lăng trụ ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD là hình chữ nhật, ABa, ADa 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A‟ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD‟A‟) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B‟ đến mặt phẳng (A‟BD) theo a.
7. Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA‟a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B‟C.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,
120o
BAD , M là trung điểm cạnh BC và SMA45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
9. Cho hình hộp đứng ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy là hình vuông, tam giác A‟AD vuông cân, A‟Ca. Tính thể tích khối tứ diện ABB‟C‟ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD‟) theo a.
10.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB2a 3 và SBC30o. Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
11.Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA‟=2a, A‟C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A‟C‟, I là giao điểm của AM và A‟C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
12.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB60o. Đường thẳng B‟C tạo với mặt phẳng (ACC‟A‟) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách giữa điểm C‟ và mặt phẳng (AB‟C).
Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích :
13.Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc. M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Tính:
a. Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a
b. Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 14.Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA. Mặt phẳng qua M và song song
mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P. Tính: a. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC b. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN
15.Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC tại C‟, cắt SB tại B‟ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó.
16.Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
17.Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao cho SN=3NA. Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
18.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, có SA=SB=SC và đôi một vuông góc.
a. Mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó.
b. Điểm N trên cạnh BD và BD=3BN, mặt phẳng qua N và vuông góc CD chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
19.Cho hình chóp S.ABC có điểm M trên SA sao cho AM=2SM, N trên SB sao cho
BN=2SN. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chí khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành, M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM là song song với BC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
21.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm trên cạnh SB. Mặt phẳng qua AM và song song BD chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó trong các TH sau:
a. SM=2MB
b. M là trung điểm SB
22.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC, mặt phẳng qua AD song song BC cắt SB tại M, cắt SC tại N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau . Tính tỉ số SM
SB
23.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (P) qua AB cắt SC, SD tại M và N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. Tính tỉ số SM
SC
24.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. B‟, D‟ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB‟D‟) cắt SC tại C‟. Tính tỉ số thể tích của S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD 25.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a . Mặt
phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B‟, SC tại C‟, SD tại D‟. Tính tỉ số thể tích giữa hai hình chóp S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD.
26.Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC . Chứng minh mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần bằng nhau.
27.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều a, SA vuông góc đáy và SA=2a. M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM song song BC cắt SC tại N. Tính thể tích hình chóp
S.AMN và khoảng cách từ A đến mp(SBC)
28.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SB tạo với đáy một góc 45o. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B‟, SC tại C‟, SD tại D‟. Tính thể tích hình chóp S.AB‟C‟D‟và:
a. Khoảng cách từ S đến mp(AB‟C‟D‟) b. Khoảng cách từ B‟ đến mp(SAC)
29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc đáy SA=AB=a, AC=2a. Điểm M là trung điểm SA và N trên SB thõa mãn SN=2NB, mặt phẳng (P) qua MN và song song AD cắt SC tại P, SD tại Q.
a. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mp(P). Từ đó suy ra thể tích S.NMPQ
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015
b. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNPQ)
30.Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Điểm C‟ là trung điểm SC, mặt phẳng qua AM và song song BD cắt SB tại B‟, SD tại D‟. Tính thể tích khối đa diện B‟C‟D‟.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O của AC và BD đến mp(AB‟C‟D‟)
Các bài toán về khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau:
31.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
32.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SHa 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
34.Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa, ACa 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A‟ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A‟.ABC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA‟ và B‟C‟.
35.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015