Trong đề tài này chỉ khảo sát hiện tợng giao thoa sóng cơ trong trờng hợp đơn giản nhất. Cụ thể ta có thể khảo sát bài toán giao thoa sóng cơ trong trờng hợp sóng dừng trên sợi dây. Điều này cũng xuất phát từ mục tiêu đạt đợc của học sinh phổ thông đối với nội dung kiến thức này. Trong chơng trình Vật lý phổ thông khi khảo sát về sóng hay giao thoa sóng chủ yếu đang xét đối với sóng lan truyền có biên độ không đổi nên khảo sát đối với sóng trên sợi dây là phù hợp. Nếu bỏ qua lực cản và sự mất mát năng lợng ta có thể xem sóng tới và sóng phản xạ trên sợi dây có biên độ không đổi. Cũng để cho bài toán đợc đơn giản ta đơn giản hoá bài toán và giả thiết rằng sóng dừng trên sợi dây chỉ có một sóng tới và một sóng phản xạ có biên độ bằng nhau.
Ta khảo sát giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ trên một sợi dây trong điều kiện không có ma sát và có hệ số phản xạ là 100% (tất cả sóng tới truyền đến cuối sợi dây đều bị phản xạ hoàn toàn). Sợi dây có chiều dài là l một đầu nối với nguồn phát A và đầu kia nối với vật cản B và khi sóng truyền đến B
thì bị phản xạ trở lại.
Giả sử đầu A có một sóng tới có phơng trình là: uA = acosωt
Sóng tới truyền đến một điểm M trên sợi đây cách A một khoảng d có phơng trình
uM = acosω(t - d/v) = acos(ωt - 2πd/λ)
Khi sóng truyền đến cuối sợi dây thì phơng trình sóng tới điểm B là: uB = acosω(t - l/v) = acos(ωt - 2πl/λ)
Sóng phản xạ tại B ngợc pha với sóng tới tại B u'B = - uB = - acos(ωt - 2πl/λ)
Sóng phản xạ truyền tới M
u'M = - acos[ωt - 2πl/λ - 2π(l - d)/λ] = - acos[ωt + 2π(d - 2l)/λ] Dao động sóng tổng hợp tại M có phơng trình là
M
A B
u = uM + u'M = acos(ωt - 2πd/λ) - acos[ωt + 2π(d - 2l)/λ] = 2acos[2π(l - d)/λ]cos(ωt - 2πl/λ)
Biên độ của dao động tổng hợp là
A = 2acos[2π(l - d)/λ] (8)
Biên độ sóng tổng hợp biến đổi theo vị trí trên sợi dây tạo thành các bó sóng và mỗi bó sóng có độ dài là λ/2, ta cần kiểm tra xem năng lợng sóng dừng trên mỗi bó sóng có độ dài là λ/2 có bằng năng lợng của hai sóng thành phần trên đoạn này không. Ta giả sử rằng dây có khối lợng trên một đơn vị chiều dài là m khi đó khối l- ợng của mỗi đoạn dây dài λ/2 là m. λ/2
Mỗi sóng thành phần truyền cho các phần tử vật chất trên sợi dây dao động cùng biên độ là a. Nếu xét trên đoạn dây dài λ/2 thì năng lợng mỗi sóng thành phần gửi đến trên đoạn dây này là (áp dụng công thức cơ năng của DĐĐH):
W1 = (1/2)m(λ/2)ω2a2 = (mλω2a2)/4
Năng lợng của hai sóng thành phần trên đoạn này là: W = (mλω2a2)/2 (9)
Biên độ dao động tổng hợp có dạng hàm cos có chu kỳ là λ/2 [biên độ bằng giá trị tuyệt đối của hàm cos (8), do hàm cos có chu kì là λ nên giá trị tuyệt đối của hàm cos có chu kì λ/2].
Biên độ dao động của phần tử trên sợi dây dài dx cách nút sóng một đoạn x là [theo công thức (8) một phần tử các nút một đoạn x có biên độ dao động là 2acos2(2πx/λ)]:
ax=2acos2(2πx/λ) (10)
Phần tử đó có khối lợng là: mx = m.dx. Cơ năng trong dao động của phần tử này là:
dW' = (1/2) m.dx.ω2[2acos2(2πx/λ)]2 = 2a2mω2cos2(2πx/λ)dx (11) Năng lợng của sóng tổng hợp trên một bó sóng có độ dài λ/2 là W' = 22a mω cos (2π λ)dxdx λ 0 2 2 2 ∫ x/ = ∫2 λ 0 2(2π λ)dx ω cos / m 2a2 2 x = 2a2mω2 ∫2 λ 0 [1 + cos(4πx/λ)]/2dx = a2mω2 ∫2 λ 0 dx + a2mω2 ∫2 λ 0 cos(4πx/λ)dx = I1 + I2 Ta nhận thấy I2 = 0 Suy ra W' = I1 = (mλω2a2)/2 = W (12) Ta nhận thấy I2 = 0 Suy ra W' = I1 = (mλω2a2)/2 = W (12)
Nh vậy khi khảo sát hiện tợng giao thoa sóng cho thấy (ở đây mới khảo sát sơ lợc trong trờng hợp đơn giản):
Do đặc thù lực đàn hồi của môi trờng truyền sóng nên giao động tổng hợp và giao động thành phần có cùng tần số, điều này thoả mãn với lý thuyết giao thoa.
Khi tính toán trờng hợp đơn giản là sóng dừng trên sợi dây có thể thấy đợc là trong trờng hợp sóng dừng trên sợi dây năng lợng của sóng tổng hợp bằng tổng năng lợng của các sóng thành phần.
ở trong khuôn khổ đề tài này không cho phép có thể đề cập đến những vấn đề phức tạp hơn, ở đây chỉ cho thấy một cách sơ lợc là lý thuyết tổng hợp dao động phù hợp với hiện tợng giao thoa sóng