Tính chất của số nguyên tố

Ký hiệu "b|a" nghĩa là b là ước của a, ký hiệu ab nghĩa là a chia hết cho b

1). Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là số nguyên tố .

Chứng minh: Giả sử d|a; d nhỏ nhất; d ≠1. Nếu d không nguyên tố  d = d1.d2; d1, d2 > 1

 d1|a với d1 < d mâu thuẫn với d nhỏ nhất. Vậy d là nguyên tố.

2). Cho p là số nguyên tố; aN; a ≠ 0. Khi đó

gcd (a,p) = p  (ap) gcd (a,p) = 1  (ap)

3). Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố p, thì có ít nhất một thừa số chia hết cho p. p a p a i N i i    1

4). Ước số dương bé nhất khác 1 của hợp số a là số nguyên tố không vượt quá

a .

5). Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất. 6). Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (không có số nguyên tố lớn nhất).

Chứng minh: Giả sử có pr là số nguyên tố lớn nhất và các số nguyên tố được ký hiệu là: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, … , pr

Đặt: P= p1. p2. p3…pr

(P + 1) mod pi = (p1. p2. p3…pr + 1) mod pi = 1

Vậy P + 1 là số nguyên tố. Nhưng P+1 > pr mâu thuẫn với giả thiết pr là số nguyên tố lớn nhất.

Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Tuy nhiên, vì tập hợp số nguyên tố là tập con của số tự nhiên, mà tập hợp số tự nhiên là đếm được nên tập hợp các số nguyên tố là đếm được. Lưu ý khái niệm đếm được trong toán học khác với ngôn ngữ đời thường, một tập hợp có vô hạn phần tử vẫn có khả năng đếm được.