Xét bài toán tối ưu rời rạc tổng quát: min{f (x): x ∈D}
trong đó D là một tập hữu hạn các phần tử.
Do D là một tập hữu hạn các phần tử nên bài toán có phương án tối ưu và ta sẽ ký hiệu phương án tối ưu đó là x * . Định nghĩa: Giá trị γ(A) trên tập A⊂D được gọi là giá trị cận dưới của tập A nếu thoả mãn:
Định nghĩa: Phương án chấp nhận được x ∈D thoả mãn
f (x)− f (x *)≤ ε được gọi là phương án ε - tối ưu của bài toán ( trong đó ε trước là giá trị nào đó cho ).
Với các định nghĩa đó thì ta sẽ có sơ đồ thuật toán nhánh cận giải bài toán trên như sau:
PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN
Sơ đồ thuật toán Nhánh cận:
Bước chuẩn bị: Đặt D = D, =1, chọn là độ chính xác của lời giải cần tìm. Bước k =1,2,...
Giả sử tại bước lặp này ta đã có phân hoạch là
Ta tìm:
γ( )= min {γ( ) : 1≤i ≤ }
PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN
Nếu tìm được x ∈D
thoả mãn
thì x là phương án tối ưu. Thuật toán kết thúc.
Ngược lại thì ta tiến hành phân hoạch tập ta sẽ thu được một phân hoạch tập D cho bước k +1 . Chuyển sang bước k +1 .
Như vậy khi k đủ lớn thì ta sẽ phân hoạch tập D ra thành các tập con chỉ có một phần tử (do D là tập hữu hạn). Do đó thuật toán sẽ kết thúc sau hữu hạn bước.
PHƯƠNG PHÁP NHÁNH CẬN
Tuy vậy để thực hiện được sơ đồ nhánh cận thì ta phải xây dựng cách phânhoạch các tậpvà tìm được thủ tục tính cận dưới
γ(A). Đây là hai vấn đề cần được xem xét. Chúng ta không thể có một công thức chung để tìm chúng mà phải tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một thuật toán dựa trên sơ đồ này để giải bài toán QHTT nguyên do hai nhà toán học Land và Doig đề xuất.