8. Cấu trúc của luận văn
2.2. Nghiên cứu một phần thực trạng dạy học nội dung nguyên hàm, tích phân
hàm, tích phân và ứng dụng
2.2.1. Mục đích, yêu cầu đối với nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Chƣơng này có mục đích giới thiệu cho HS những kiến thức cơ bản nhất về nguyên hàm, tích phân, đồng thời nêu những ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích và thể tích các hình và vật thể. Nhờ công cụ tích phân HS có thể chứng minh đƣợc các công thức tính diện tích hình elịp, tính thể tích của hình cầu, hình chóp cụt mà trong hình học các em phải thừa nhận.
Khi học xong chƣơng này, HS cần đạt các kiến thức và kỹ năng sau:
Về kiến thức
- Nắm vững khái niệm nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm. - Nhớ bảng các nguyên hàm cơ bản.
- Nhớ định nghĩa tích phân.
- Nhớ các tính chất cơ bản của tích phân.
- Phƣơng pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tích phân từng phần. - Ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học.
Về kỹ năng
Biết vận dụng bảng các nguyên hàm cơ bản, các tính chất, các phƣơng pháp để tính nguyên hàm của các hàm số không quá phức tạp.
Biết vận dụng các tính chất cơ bản của tích phân, các phƣơng pháp tính tích phân để tính tích phân của các hàm số không quá phức tạp.
- Biết ứng dụng tích phân trong các bài toán tính diện tích các hình và thể tích các vật thề có hình dạng không quá phức tạp.
Giúp cho HS thấy đƣợc khái niệm tích phân ra đời xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn, cụ thể là bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán tìm quãng đƣờng đi đƣợc của một chuyển động. Sau khi ra đời và phát triển, phép tính tích phân đã có nhiều ứng dụng to lớn trong khoa học kỹ thuật. Đây là một minh chứng rất rõ cho luận điểm triết học : "Toán học xuất phát từ thực tiễn rồi lại quay trở về ứng dụng vào thực tiễn".
Với những mục đích, yêu cầu mà HS cần phải đạt đƣợc về kiến thức và kỹ năng khi học nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Trên cơ sở phân tích nội dung chƣơng trình SGK chúng tôi nhận thấy việc dạy nội dung ở trƣờng phổ thông cần đảm bảo những yêu cầu sau:
- Khi dạy các khái niệm nguyên hàm, tích phân phải dạy cho HS hiểu đƣợc bản chất và ý nghĩa của tích phân, mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm, giữa nguyên hàm và tích phân.
- Khi dạy các tính chất của nguyên hàm, tích phân cần thông qua quan sát, thực nghiệm để HS phát hiện ra các tính chất sau đó dùng lập luận để chứng minh, từ đó vận dụng các tính chất vào bài tập tính nguyên hàm, tích phân cụ thể.
- Khi dạy các phƣơng pháp tìm nguyên hàm, tích phân cần phải dạy cho HS các kỹ năng sử dụng các phƣơng pháp đó vào các bài tập cụ thể và những chú ý cần thiết khi sử dụng các phƣơng pháp này.
- Khi dạy ứng dụng của tích phân trong hình học cần phải dạy cho HS cách thiết lập các công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay thông qua quan sát hình học và các kiến thức đã biết.
Trong cả ba bộ sách trên đặc biệt là trong bộ SGK [4] và [7] đều chú trọng đến đổi mới phƣơng pháp dạy học với phƣơng châm : Lấy HS làm trung tâm, tăng cƣờng tính chủ động của HS, giảm lý thuyết kinh viện, tăng cƣờng thực hành, gắn với thực tiễn. Trƣớc khi trình bày một khái niệm mới, SGK
đều có các ví dụ dẫn dắt, nêu bài toán mở đầu, tạo tình huống để HS thấy nhu cầu cần thiết phải có các khái niệm đó. Với mỗi khái niệm SGK đều cố gắng cho HS thấy nó từ đâu đến và nó dùng để làm gì. Ngoài ra trong bài học SGK đã thiết kế các câu hỏi hoạt động xen kẽ, nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong học tập, tạo cơ hội cho sự thảo luận và đối thoại giữa HS - HS, giữa GV - HS trên lớp. Tuy nhiên, nội dung hoạt động trong SGK chỉ có tính chất gợi ý. Ngƣời GV cần căn cứ trên mục đích, năng lực của HS, hoàn cảnh cụ thể của lớp học để sáng tạo ra các hoạt động khác tƣơng tự cho phù hợp hơn. Do vậy, việc vận dụng quan điểm kiến tạo cơ sự hỗ trợ của phần mềm Maple trong giảng dạy nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng cần đƣợc nghiên cứu và kiểm nghiệm.
2.2.2. Cấu trúc trương trình và nội dung chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Giải tích 12- cơ bản năm 2008, SGK [7 ]
Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chỉ nêu phần nội dung lý thuyết và bài tập chƣơng "Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng" trong SGK [7].
2.2.2.1 Nội dung nguyên hàm trong SGK [7]
Nội dung nguyên hàm trong SGK [7] bao gồm: - Nguyên hàm và tính chất + Định nghĩa nguyên hàm và các định lý (có 2 định lý). + Tính chất của nguyên hàm (có 3 tính chất). + Sự tồn tại nguyên hàm. + Bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp. - Phƣơng pháp tính nguyên hàm
+ Phƣơng pháp đổi biến số.
+ Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nội dung nguyên hàm trong SGK [7] đƣợc phân phối thời lƣợng là 3 tiết, theo nghiên cứu của chúng tôi có thể phân chia nhƣ sau:
Tiết 1: Nguyên hàm và tính chất Tiết 2: Phƣơng pháp tính nguyên hàm Tiết 3: Luyện tập
Khi học xong nội dung này, HS cần đạt các kiến thức và kỹ năng sau:
Về kiến thức
- Nắm đƣợc định nghĩa và các tính chất cơ bản của nguyên hàm. - Nhớ đƣợc bảng nguyên hàm của các hàm số thƣờng gặp.
- Nắm vững hai phƣơng pháp cơ bản để tìm nguyên hàm.
Về kỹ năng
- Biết vận dụng đƣợc định nghĩa và các tính chất cơ bản của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thƣờng gặp để tìm nguyên hàm của các hàm số khác phức tạp hơn.
- Vận dụng đƣợc hai phƣơng pháp tính nguyên hàm để giải các bài toán tìm nguyên hàm tƣơng đối đơn giản.
Để làm rõ vai trò việc vận dụng lí thuyết kiến tạo khi dạy học nội dung nguyên hàm, chúng tôi nêu một số tình huống nhƣ sau
Khi dạy định nghĩa nguyên hàm cần thực hiện các bƣớc:
Bước 1: Nêu bài toán tìm phƣơng trình chuyển động thẳng của một chất điểm xác định theo thời gian t : s = f (t) khi biết vận tốc tại thời điểm t là v(t) = f'(t)
Mục đích: Cho HS thấy đƣợc nhu cầu cần thiết phải hình thành nên tri thức mới từ một bài toán thực tế đặt ra.
Bước 2: Tìm hàm số F(x) sao cho F' (x) = f(x) nếu f(x) = 3x2 với x (-
; +)
Mục đích: Cho HS thấy đƣợc mối liên quan giũa tri thức đã biết (đạo hàm) với tri thức mới.
Bước 3: GV nêu lên khái niệm: Hàm số F(x) = x3
là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2
trên khoảng (-; +). Từ đó yêu cầu HS trình bày sơ lƣợc định nghĩa nguyên hàm.
Mục đích: HS có thể trao đổi, thảo luận để đƣa ra định nghĩa sơ lƣợc về nguyên hàm.
Bước 4: GV phân tích, tổng hợp và đƣa ra định nghĩa nguyên hàm.
Mục đích: Hình thành tri thức mới cho HS.
Khi dạy bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp cần thực hiện các bƣớc sau:
Bước 1: Điền các hàm số thích hợp vào cột bên phải, SGK [7, tr 97].
Mục đích: Cho HS nhận thấy mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm và có thể kiến tạo nên tri thức mới (nguyên hàm) từ tri thức đã biết (đạo hàm).
Bước 2: Hoàn chỉnh bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp.
Mục đích: HS nắm đƣợc nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp.
Bước 3: Nêu một số ví dụ minh hoạ
Mục đích: HS vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp và các tính chất của nguyên hàm để tìm nguyên hàm các hàm số khác.
2.2.2.2. Nội dung tích phân trong SGK [7]
Nội dung tích phân trong SGK [7] bao gồm: - Khái niệm tích phân
+ Diện tích hình thang cong. + Định nghĩa tích phân. - Tính chất của tích phân - Phƣơng pháp tích phân + Phƣơng pháp đổi biến số.
+ Phƣơng pháp lấy tích phân từng phần.
Tiết 1: Khái niệm tích phân Tiết 2: Tính chất của tích phân
Tiết 3: Tính tích phân bằng phƣơng pháp đổi biến số
Tiết 4: Tính tích phân bằng phƣơng pháp lấy tích phân từng phần Tiết 5: Luyện tập
Khi học xong nội dung này, HS cần đạt những kiến thức, kĩ năng sau:
Về kiến thức
- Nắm vững định nghĩa tích phân, hiểu đƣợc ứng dụng quan trọng của tích phân trong hình học.
- Hiểu và nhớ đƣợc các tính chất của tích phân.
- Nắm vững hai phƣơng pháp cơ bản để tính tích phân: PP đổi biến số và PP lấy tích phân từng phần.
Về kỹ năng
- Biết tính tích phân từ định nghĩa và áp dụng các tính chất cơ bản của tích phân để tính tích phân.
- Vận dụng đƣợc PP đổi biến số và PP lấy tích phân từng phần để giải các bài toán tính tích phân.
Để dạy khái niệm và định nghĩa tích phân, theo chúng tôi có thể dạy theo hƣớng nhƣ sau:
Bước 1: Đƣa ra bài toán tính diện tích của hình thang cong.
Mục đích: Cho HS thấy đƣợc sự cần thiết trong việc hình thành kiến thức mới.
Bước 2: Giải bài toán tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đƣờng cong y = x2, trục hoành và các đƣờng thẳng x = 0, x = 1
Mục đích: Cho HS dần thấy đƣợc mối liên hệ giữa kiến thức đã biết (nguyên hàm) với kiến thức mới.
Mục đích: Dƣới sự định hƣớng của giáo viên, HS đƣợc trao đổi để đƣa ra một định nghĩa sơ lƣợc, qua đó HS sẽ tích cực chủ động hơn trong việc tiếp nhận kiến thức mới.
Bước 4: GV tổng hợp, đánh giá và hoàn chỉnh định nghĩa tích phân
Mục đích: hình thành tri thức mới cho HS.
Bước 5: Cho một số ví dụ
Mục đích: Vận dụng trực tiếp định nghĩa tích phân để tính một số tích phân đơn giản.
2.2.2.3. Phân loại các dạng toán nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Trong dạy học giải toán về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo quan điểm của Nguyễn Chí Thành và Lê Thị Hoài Châu [14, tr. 178], chúng tôi chia bài toán thành hai loại: loại đóng vai trò là đối tƣợng trong giải toán và loại đóng vai trò là công cụ trong giải toán.
Loại 1: Nguyên hàm, tích phân là đối tƣợng giải toán
Theo Nguyễn Hồng Hoằng [21, tr.27], chia loại 1 thành 8 dạng cụ thể nhƣ trong bảng dƣới đây:
Bảng 2.5. Phân loại bài toán nguyên hàm, tích phân là đối tượng giải toán
D ạng
Nội dung
1. Tìm nguyên hàm của hàm số bằng định nghĩa, tính chất 2. Tìm nguyên hàm bằng PP đổi biến số
3. Tìm nguyên hàm bằng PP lấy nguyên hàm từng phần 4. Chứng minh công thức nguyên hàm bằng định nghĩa 5. Tính tích phân bằng định nghĩa, tính chất
6. Tích phân bằng phƣơng pháp đổi biến số
8. Chứng minh tích phân dạng truy hồi
Loại 2: Nguyên hàm, tích phân là công cụ để giải toán
Theo Nguyễn Hồng Hoằng [21, tr.29], chia loại 2 thành 3 dạng cụ thể nhƣ trong bảng dƣới đây:
Bảng 2.6. Phân loại bài toán nguyên hàm, tích phân là công cụ giải toán
D ạng
Nội dung
9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 1
0
Tính thể tích các vật thể khi biết thiết diện
1 1
Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh các trục toạ độ
Qua 2 bảng thống kê các dạng toán của loại 1 và loại 2 chúng tôi thấy: các dạng bài tập thuộc loại 1 là những dạng bài tập dùng để củng cố lí thuyết nguyên hàm, tích phân, còn các dạng bài tập thuộc loại 2 là những dạng bài tập vận dụng nguyên hàm, tích phân vào giải toán. Dựa theo phân loại trên chúng tôi lập ra bảng thống kê nhƣ sau:
Bảng 2.7. Tổng hợp các dạng toán về nguyên hàm, tích phân của bộ SGK [7] và SGK [8] L oại bài tập D ạng Số lƣợng bài tập SGK Giải tích 12 - cơ bản Sách bài tập Giải tích 12 - cơ bản Số lƣợng 1 1 6 5 11 2 3 7 10
3 3 3 6 4 0 1 1 5 9 8 17 6 4 6 10 7 2 5 7 8 2 1 3 T ổng 29 39 65 2 9 8 9 17 1 0 1 2 3 1 1 5 6 11 T ổng 14 17 31 T ổng 43 53 96
Thống qua thống kê ở Bảng 2.7 trên chúng tôi thấy các dạng toán đƣợc đề cập trong các SGK [7] và [8] gồm có:
Đối với loại 1: Các dạng toán thƣờng đƣợc đề cập gồm có các dạng: dạng 1, dạng 2, dạng 5 và dạng 6 với số lƣợng bài tập chiếm 48 bài trên tổng số 65 bài tập của loại 1. Trong loại 1 trọng tâm nhấn mạnh nhất là các bài toán dạng 1, dạng 5 là các bài toán về tính nguyên hàm và tích phân bằng định nghĩa và các tính chất. Điều đó chứng tỏ rằng các tác giả nhận thấy tầm quan trọng của việc dạy cho HS hiểu đƣợc bản chất nguyên hàm, tích phân, chú trọng đến việc rèn luyện kĩ năng tính nguyên hàm và tích phân. Đối với dạng
2, dạng 6 là các bài toán tính nguyên hàm, tích phân bằng PP đổi biến số cũng đƣợc chú trọng. Dạng 3, dạng 7 là các bài toán tính nguyên hàm, tích phân bằng PP tính nguyên hàm, tích phân từng phần tuy số lƣợng không nhiều (13 bài) nhƣng cũng rất quan trọng trong việc hoàn thiện kĩ năng tính nguyên hàm, tích phân cho HS.
Đối với loại 2: Các dạng toán thƣờng đƣợc đề cập gồm có các dạng: dạng 9, dạng 11 với số lƣợng 28 bài (trên tổng số 31 bài). Nhƣ vậy, trong loại 2 trọng tâm là các bài toán dạng 9, dạng 11 là những bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng, tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng quanh các trục toạ độ. Điều đó chứng tỏ các tác giả nhấn mạnh đến kỹ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay, kĩ năng chuyển từ bài toán tính tích phân thông thƣờng sang bài toán sử dụng tích phân để giải toán, qua đó có thể khẳng định tích phân là công cụ hữu hiệu trong việc giải các bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.
Qua sự phân bố số lƣợng các dạng toán trong SGK [7] và SGK [8] chúng tôi thấy các tác giả đề cập nhiều đến các dạng toán tính nguyên hàm, tích phân bằng định nghĩa và các tính chất, tính nguyên hàm, tích phân bằng PP đổi biên số và PP tính nguyên hàm, tính tích phân từng phần, các bài toán liên quan đến vận dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay. Đây là các dạng toán cơ bản, phù hợp với trình độ nhận thức và năng lực của đa số HS. Còn dạng toán chứng minh công thức nguyên hàm bằng định nghĩa, chứng minh tích phân dạng truy hồi và tính thể tích vật thể khi biết thiết diện chỉ đƣợc đề cập đến trong sách bài tập và chỉ mang tính chất tham khảo cho một số đối tƣợng HS khá hơn.
Căn cứ vào Bảng 2.7, số lƣợng bài tập thuộc loại 1 là 65 bài (8 dạng) trong khi đó số lƣợng bài tập thuộc loại 2 là 31 bài (3 dạng). Nhƣ vậy số
lƣợng bài tập cho mỗi dạng của loại 2 là nhiều hơn so với số lƣợng bài tập cho mỗi dạng của loại 1, điều đó chứng tỏ rằng các tác giả rất chú trọng đến khả năng luyện tập để rèn luyện kỹ năng giải toán ứng dụng tích phân trong hình học cho HS, đồng thời qua dạng toán này GV củng cố đƣợc kỹ năng tính tích phân cho HS. Trong SGK đã nêu hƣớng giải các bài toán tính diện tích