6. Cấu trúc khóa luận
2.4.4. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do
Như đã biết, năng lượng tự do cho thông tin đầy đủ về tính chất nhiệt động của hệ, do đó việc xác định đóng vai trò quan trọng. Trong vật lí thống kê năng lượng tự do liên hệ với tổng trạng thái bởi biểu thức:
ln H Z Z Tr e (2.61)
Tuy nhiên việc tìm không đơn giản. Thông thường đối với các hệ lí tưởng có thể tìm được biểu thức chính xác của năng lượng tự do. Còn nói chung chỉ có thể tìm nó dưới dạng gần đúng. Hiện nay có một số phương pháp khác nhau trong việc xác định năng lượng tự do, như phương pháp nhiễu loạn, phương pháp biến phân Bogoliubov, phương pháp momen. Ở đây sẽ trình bày công thức tổng quát tính năng lượng tự do theo phương pháp momen và sau đó sẽ áp dụng vào bài toán dao tử điều hòa và phi điều hòa lượng tử.
Giả sử Hamiltonian của hệ lượng tử có dạng: ˆ ˆ ˆ
o
Tương tự như (2.39) dễ dàng thu được biểu thức: ( ) V (2.62)
Biểu thức này tương đương với công thức:
0 0 ( ) V d , (2.63) trong đó 0 là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian Hˆ0 được xem như đã biết.
Bằng cách nào đó ta tìm được V (có thể sử dụng công thức momen) thì từ (2.63) có thể thu được biểu thức đối với năng lượng tự do ( ).
Nếu Hamiltonian Hˆ có dạng phức tạp thì tách nó thành:
0
ˆ ˆ i iˆ
i
H H V sao cho Hˆ0 1 1Vˆ 2 2Vˆ ,…
Giả sử biết năng lượng tự do 0 ứng với Hamiltonian Hˆ0 của hệ, khi đó tìm năng lượng tự do 1 ứng Hˆ1Hˆ01 1Vˆ, tiếp theo tìm năng lượng tự do
2
ứng Hˆ2 Hˆ12Vˆ2 v.v… Cuối cùng thu được biểu thức đối với năng lượng tự do của hệ.