Hình 4.2: Không gian nghiệm tổng quát
Hình trên là không gian nghiệm tổng quát của bài toán TSP bất kỳ. Giả sử ta có một bài toán gồm nhiều đỉnh. Một cách vẽ các cạnh để nối các đỉnh với nhau sao cho thỏa chu trình Halmilton và ước tính chi phí đường đi giữa các đỉnh này. Chi phí đó chính là 1 nghiệm của bài toán TSP. Vì có nhiều cách nối giữa các đỉnh của bài toán nên bài toán TSP thường có nhiều nghiệm.
Có những nghiệm có chi phí rất lớn thường gọi là nghiệm xấu. Vấn đề ở đây là cố gắng tìm nghiệm nhỏ hơn (chi phí thấp hơn). Nếu không gian nghiệm là lồi thì vấn đề sẽ trở nên dễ dàng. Nhưng ở đây nếu không gian nghiệm là lõm thì giải quyết như thế nào? Trên hình 4.4.1 gồm có không gian nghiệm lõm, điểm X trong không gian xác định giá trị chi phí x trên trục tọa độ với điều kiện theo chiều mũi tên là chiều cải thiện nghiệm. Tương tự ta có 2 điểm A và B xác định 2 nghiệm xA và xB, dĩ nhiên xA tốt hơn xB.
Chương 4. Bài toán TSP và không gian nghiệm
Từ điểm X ta dùng các thuật toán meta-heuristic sao cho nghiệm của bài toán được cải thiện, giả sử ta có 2 hướng cải thiện (1) và (2). Hướng (1) cho thấy rằng X sẽ dần tiến về A và hướng (2) X sẽ tiến dần về B. Tuy nhiên tại B chỉ là tối ưu cục bộ, còn tối ưu toàn cục phải là A. Như vậy nếu X tới B ta chỉ thu được nghiệm tối ưu cục bộ.
Bằng cách dùng giải thuật heuristic hỗ trợ (định nghĩa không gian lân cận dùng giải thuật 2- opt, 3-opt, Lin-Kernighan,…) ta có thể di chuyển điểm X ngược trở về và chuyển hướng cải thiện về phía điểm A.