Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a, I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng SA vuông góc với BC. b) Tính thể tích khối chóp S.ABCI.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , BC a 3= , SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Tính BI.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC 60· = 0, chiều cao SO a 3 2
= , trong đó O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD, mp(α) qua BM và song song SA cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM.
Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên là 2a. Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 ;
hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. a) Tính thể tích khối chóp A’.ABC.
b) Gọi ϕ là góc giữa AA’ và B’C’. Tính cosϕ.
Bài 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, A’C = A’A = A’B = a.
a) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật. b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, H là tâm đáy, I là trung điểm của SH, khoảng cách từ I đến mặt
phẳng (SBC) là a
2 và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 60
0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Bài 8. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = a 3
2 và · 0
BAD 60= . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’.
a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(BDMN). b) Tính thể tích khối đa diện A.BDMN.
Bài 9. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a và AA’ tạo với mp(ABC)
một góc 600. Tính thể tích tứ diện ACA’B’.
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Tính thể tích khối tứ diện
DACD’.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mp(SMB). b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và AB = a 2 , BC = a 6 ; các cạnh bên của hình chóp bằng a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 13. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, CD, BD.
Tính thể tích khối đa diện DAMNPQ.
Bài 14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a, trên cạnh CC’ lấy điểm K sao cho CK = 2a
3 ; mp(P) qua A, K và song song với BC chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích mỗi khối đa diện đó.
Bài 15. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Tính khoảng cách giữa AM và B’C.
Bài 16. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a, đường cao SH = a 6
2 , mp(P) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B; AB = a, AD = 2a, tam giác
SAB đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD), SC = a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và mp(SAD) vuông
góc với mp(ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. a) Chứng minh rằng: AM vuông góc với BP.
b) Tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , mp(SAB) vuông
góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. a) Tính thể tích khối chóp S.BMDN.
b) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 20. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD,
A’D’ ; (P) là mặt phẳng chứa B và A’C, (Q) là mặt phẳng chứa D và A’C. a) Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
b) Tính thể tích khối tứ diện MPC’N. c) Tính góc giữa (P) và (Q).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và MP.
Bài 21. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm
P của SA ; M là trung điểm của AE ; N là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng MN vuông góc với BD.
b) Tính khoảng cách giữa MN và AC. c) Tính thể tích khối tứ diện SPCD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD ABC 90· =· = 0; AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mp(ABCD), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD.
a) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật. b) Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Bài 23. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mp(ABC), AC = AD = 4, BC = 5, AB = 3.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Bài 24. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình chiếu vuông góc của O
trên mặt phẳng (ABC).
b) Chứng minh rằng: 12 1 2 12 12 OH =OA +OB +OC
c) Tính thể tích khối tứ diện OABH, biết rằng OA = OB = OC = a.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC), tam giác ABC là tam giác vuông cân đỉnh C,
SC = a. Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó.
Bài 26. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, khoảng cách từ a đến mp(SBC) bằng 2a. Gọi α là góc giữa mặt bên và đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α. Tìm α để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt
đáy là 600, M là trung điểm của SB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M và DC. a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α). Tính diện tích thiết diện. b) Tính tỉ số thể tích của 2 phần khối chóp bị chia bởi thiết diện nói trên.
Bài 28. Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNP).
b) Chứng minh rằng thiết diện chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.